Como saber si una sucesión converge o diverge

Si hablamos de sucesiones, al referirnos a cotas, estaremos hablando de cotas superiores y cotas inferiores. Si tenemos una sucesión {a_n} se dice que es acotada si existe un número M tal que |a_n| < M, para todo número natural n. Pero ¿qué es una cota inferior? ¿Qué es una cota superior?

• Se llama al número I (real) una cota inferior de la sucesión {a_n} si I <= a_n, para todo n natural.
• Se llama al número S (real) una cota superior de la sucesión {a_n} si S => a_n, para todo n natural.

Tenga presente esto: Las cotas no son únicas.

Ahora pongamos ejemplos para entenderlo mejor:

1. por ejemplo la sucesión {3,5,7,9...} = {2n + 1 | n ∊ ℕ} tiene como cotas inferiores a ... 1, 2, 3, pero no está acotada superiormente.
2. {1/n: n ∊ ℕ}, esta sucesión tiene a ... , -2,-1,0 como cotas inferiores y a 1,2,3, ... como cotas superiores.
3. {sen(n): n ∊ ℕ} tiene a ...,-2,-1 como cotas inferiores y a 1,2,3,... como cotas superiores.

Pasemos a la convergencia de una sucesión.

¿Cuándo se dice que una sucesión converge? Se dice que una sucesión converge si el siguiente límite es finito

$$\begin{align}&\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\end{align}$$

O sea si una sucesión es convergente, esta sucesión está acotada superiormente. Pero lo recíproco no es del todo cierto, en el ejemplo (3) vemos que esa sucesión no es convergente, sin embargo tiene cotas superiores.

¿Si una sucesión está acotada superiormente y es creciente, la sucesión será convergente?

Veamos...

$$\begin{align}&\color{blue}{\text{Sea $a_n$  una sucesión, tal que $\sup(a_n)=a$}}\text{ (sup: supremo, que es la menor cota superior}\\&\text{de la sucesión $a_n$) }\color{blue}{\text{además $a_n$ es creciente, es decir que si tenemos $m < n$, entonces}}\\&\color{blue}{\text{$a_m \geq a_n$}}\\&\\&\text{De $\sup(a_n)=a$ podemos asegurar que $\forall \epsilon>0, \exists n\in \mathbb{N}: a-\epsilon < a_n$ y como}\\&\text{$a_m > a_n$, entonces $a-\epsilon < a_n \leq a_m$, por ser $a$ supremo se tiene}\\&\\&a-\epsilon < a_n \leq a_m < a\\&\\&\text{es más} \\&a-\epsilon < a_n \leq a_m < a < a+\epsilon\\&\\&a-\epsilon < a_n < a+\epsilon\\&\\&|a_n-a|< \epsilon\\&\end{align}$$

La respuesta es afirmativa. Para el caso que una sucesión decreciente y acotada inferiormente, funciona igual, y la demostración es análoga a la de arriba. Este es el teorema de K. Weierstrass.

Por fin, los criterios de D'Alembert y Cauchy están dirigidos a las series, pero pueden ser de utilidad para resolver si una sucesión es convergente o no, ya que si la serie es convergente la sucesión también lo será (lo recíproco no es cierto del todo, sino véase la serie armónica).

Fe de errata:

En lugar de

O sea si una sucesión es convergente, esta sucesión está acotada superiormente

Debe ir

O sea si una sucesión es convergente, esta sucesión está acotada.

Muchas gracias.

Mi duda por lo que dije que la cota  es el limite es porque por ejemplo:

Si es una sucesion que es creciente y acotada. Que tiene la cota inferior Como el primer término de la sucesión y con respecto a  la cota superior vi que calculaban hallando el limite de la sucesión. No se si está mal calcular así la cota y hay otra manera.

Se que para ver que una sucesion es monótona creciente es an<=an+1

Y monótona decreciente an >=an+1

Claro en este caso el límite es una cota superior denominada supremo de la sucesión.