Hallar si existe el limite de estas sucesiones

(1)

$$\begin{align}&\text{Supongamos que tenemos un número real $\varepsilon$ tal que $0<\varepsilon<1$ y un número $N_\varepsilon\in\mathbb{N}$}\\&\text{que $n>N_\varepsilon$ entonces tenemos}\\&\\&\frac{1}{n}<\frac{1}{N_\varepsilon}\\&\\&\frac{3}{n}<\frac{3}{N_\varepsilon}\\&\\&\left(\frac{3}{n}\right)^n<\left(\frac{3}{N_\varepsilon}\right)^n\\&\\&\text{Ahora pongamos que $N_\varepsilon>\dfrac{3}{\varepsilon}$ , es decir $\dfrac{3}{N_\varepsilon}<\varepsilon$, entonces}\\&\\&\left(\frac{3}{n}\right)^n<\left(\frac{3}{N_\varepsilon}\right)^n<\varepsilon^n\\&\\&\text{como $n\in\mathbb{N}$ se cumple:}\\&\\&\left(\frac{3}{n}\right)^n<\left(\frac{3}{N_\varepsilon}\right)^n<\varepsilon^n<\varepsilon\\&\\&\left(\frac{3}{n}\right)^n<\varepsilon\\&\\&\text{Traducción}\\&\\&\forall\varepsilon\in (0,1), \exists N_\varepsilon\in\mathbb{N}: n>N_\varepsilon\Longrightarrow \left(\frac{3}{n}\right)^n<\varepsilon\\&\\&\text{lo que equivale decir}\\&\\&\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{3}{n}\right)^n=0\end{align}$$

(2) 

$$\begin{align}&\text{Sea $n>\dfrac{1}{\epsilon}$ entonces $\dfrac{1}{n}<\epsilon$, donde $n\in\mathbb{N}$ y $\epsilon\in\mathbb{R}^+$}\\&\\&\left|\dfrac{(-1)^n}{n}\right|=\dfrac{1}{n}<\epsilon\\&\\&\left|\dfrac{(-1)^n}{n}\right|<\epsilon\\&\\&\left|\left[2+\dfrac{(-1)^n}{n}\right]-2\right|<\epsilon\\&\\&\text{por ende}\\&\\&\lim\limits_{n\to\infty}2+\dfrac{(-1)^n}{n}=2\end{align}$$

El segundo tiene un límite muy simple de calcular y es 2, ya que estás sumando 2 a un término que tiende a 0

Respecto al primero, ya no es tan fácil de ver,

$$\begin{align}&\text{Veamos si es monotona decreciente, esto es si }a_n > a_{n+1}\\&a_n >^? a_{n+1} \to\\&\frac{3^n}{n^n} >^? \frac{3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} = \frac{3^n \cdot 3}{(n+1)^{n+1}}\\&\frac{1}{n^n} >^?  \frac{ 3}{(n+1)^{n+1}}\\&\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} >^?  3\\&\frac{(n+1)^n \cdot (n+1)}{n^n} >^?  3\\&(n+1) \bigg(\frac{n+1}{n}\bigg)^n >^?  3\\&\text{Y esta última desigualdad es claramente válida (si no me crees prueba darle algunos valores a n y verás que es así)}\\&\text{Conclusión, tenemos una sucesión con todos los términos positivos y estrictamente decreciente, por lo que}\\&\text{claramente el límite debe ser 0}\end{align}$$

 Salu2