Solucinar la longitud de arco de la gráfica f(x)=9∛(x^2 ) en el intervalo [-1,8] y realice la gráfica

Parametricemos la curva. Sea

$$\begin{align}&x(t)=t^3 \,,\, y(t)=9t^2\,,\, t\in[-1,2]\\&\\&\end{align}$$

Entonces la longitud de la curva es

$$\begin{align}&\mathcal{L}=\int_{-1}^{2}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\\&\\&\mathcal{L}=\int_{-1}^{2}\sqrt{\left(3t^2\right)^2+\left(18t\right)^2}\,dt\\&\\&\mathcal{L}=\int_{-1}^{2}\sqrt{9t^4+18^2t^2}\,dt\\&\\&\mathcal{L}=3\int_{-1}^{2}t\sqrt{t^2+36}\,dt\\&\\&\mathcal{L}=\left.\sqrt{t^2+36}^3\right|_{t=-1}^{t=2}\\&\\&\boxed{\mathcal{L}=80\sqrt{10}-37\sqrt{37}}\end{align}$$

La longitud de la curva de una función f(x) se calcula mediante la integral:

$$\begin{align}&L = \int_a^b \sqrt{1 + (f´(x))^2} dx\\&\text{En este caso...}\\&L = \int_{-1}^8 \sqrt{1 + ((9 \sqrt[3]{x^2})')^2} dx\\&\text{Veamos primero f'(x)}\\&f(x) = 9 \sqrt[3]{x^2}\\&f'(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{x}}\\&Retomando...\\&L = \int_{-1}^8 \sqrt{1 + (\frac{6}{\sqrt[3]{x}})^2} dx = \int_{-1}^8 \sqrt{1 + \frac{36}{x^{2/3}}} dx\end{align}$$

Salu2...