Demuestra que el disco unitario en R no es compacto
Compacidad
Utilizando la definición de compacidad con cubiertas abiertas, demuestra que el disco unitario en R no es compacto.
Recuerda que el disco unitario es el conjunto D^2={(x , y) ∈ R^2 | x + y < 1}.
La demostración debe ser formal
1 respuesta
Según mi humilde entender el disco unitario es el conjunto:
D^2={(x , y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 < 1}.
Observa que de la otra manera: x+y<1, es el semiplano inferior a la recta y=1-x, lo que no forma disco alguno.
Como no existen elementos de cierre de la frontera del disco de radio <1, este no es compacto. Suele decirse que el conjunto que rodea al disco unitario (no compacto) es compacto, puesto que contiene a 1 y es el elemento de cierre del conjunto de los puntos de su entorno.
Puedes ampliar esto mismo en la página 309 de esta dirección, donde muestran discos compactos y no compactos.
En definitiva, para hablar de compacto, debe haber una igualdad (o mayor e igual o menor e igual), donde hay un valor de cierre. En el caso de los no compactos, es igual a la definición de límite: "tiende a un determinado valor en el entorno REDUCIDO..."
