Expresa f en términos de funciones escalón unitario

Sea f(t)=1 si 0≤t≤a, f(t)=0 si t>a (con a > 0).
1. Expresa f en términos de funciones escalón unitario
2. Demuestra que L(f(t))=s^(-1) (1-e^(-as))

Seguramente: “con a>0”, porque de otra forma sería una contradicción con “0≤t≤a” sabiendo la definición de la Transformada de Laplace que integra desde 0 a ∞.

Toda función escalón se comienza analizando por la extrema izquierda, que en este caso vale 1, y conmuta a 0 en a.

f(t) = t-a;  que es la función escalón unitario.  0 para t≤a;  1 para t>a (que es lo opuesto a nuestro problema).

 Llamemos f(t) = u(t-a);

Para invertir la conmutación, debemos hacer:

1-u(t-a);  Como u(t-a) para t<a=0;  y t>a=1,  queda:

1-u(t-a)=1;  para t<a;  0 para t>a;  que ahora sí representa nuestra conmutación en a de 1 a 0.  Queda: 

 (t) = 1-u(t-a);  que es tu primera consigna

 L {t-a} = [e^(-sa)] / s.

L {f(t-a)} = L{1- u(t-a)} = L{1} – L {u(t-a)}; 

 (1/s) – [e^(-as)/s];  o:  (1/s)* [1-e^(-as)];  que es tu segunda consigna.