¿Cuál es la tasa máxima de incremento?

Tasa máxima

Suponga que la temperatura en un punto (𝑥,𝑦,𝑧) está dada por

Donde T es medida en grados Celsius y𝑥,𝑦,𝑧 en metros. ¿En qué dirección la temperatura crece más rápido en el punto (1,1, −2)? ¿Cuál es la tasa máxima de incremento?

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Respuesta
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Como interpreto el problema el crecimiento máximo será en la dirección del vector gradiente.

T(x;y;z) = 80 / (1+x^2+2y^2+3z^2);

∂T/∂x = -160x /(1+x^2+2y^2+3z^2)^2;  En (1;1;-2):  -160/16:  -10

∂T/∂y = -320y/ (1+x^2+2y^2+3z^2)^2;   -320/16:  -20

∂T/∂z = -480z/(1+x^2+2y^2+3z^2)^2;  960/16:  60;

#### ▼<-10; -20; 60>;  

Como es un vector de tres componentes divisibles por 10, para facilitar:

▼ <-1; -2; 6>;  

Módulo:  √(1+4+36);  √41;

Unitario:  (1/√41)*<-1; -2; 6>

Puedes responderlo con cualquiera de las tres formas:  <-10; -20; 60>; 

<-1; -2; 6>;  o con el unitario.

Faltó decir que la tasa de mayor crecimiento es el módulo del vector gradiente: √(100+400+3600); √4100; o:

#### 10√41

PD: Olvidé multiplicarlo por 10 en la respuesta inicial.

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