Encontrar y clasificar los puntos críticos para la función (𝑥, 𝑦) =𝑥^2+𝑦^2− 4𝑥𝑦+1

Derivadas parciales

Encontrar y clasificar los puntos críticos para la función

$$\begin{align}&f(𝑥, 𝑦) =𝑥^2+𝑦^2− 4𝑥𝑦+1\end{align}$$
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50.725 pts. Todo ser tiene valor por el sólo hecho de ser y merece...

f(x,y)=x2+y2−4xy+1;  Llamaré z a f(x;y);

∂z/∂x = 2x - 4y;   igualo a 0:  2x=4y;  x=2y;

∂z/∂y= 2y-4x;  igualo a 0:  2y=4x;  reemplazo con x=2y;

x=4x;  0=3x;  x=0;

Reemplazo en x=2y;  y=0

Generamos la matriz Hessiana:  

∂2z/dx^2 %%%% ∂2z/∂x∂y

∂2z/∂y∂x %%%% ∂2z/∂y^2;  para este caso:

2 %%%% -4

-4 %%%% 2;  (2*2) - (-4*-4) = 4-16;  -12;  resultado negativo, por lo que el punto (0; 0) es una ensilladura.

Recordar que si el resultado es positivo hay que ver el signo de ∂2z/∂x^2: positivo es un mínimo; negativo un máximo (y si es 0, debe buscarse manualmente por las proximidades del punto).

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