¿Aplicación de las integradas en física?

eo=54ft;  e(t)=6ft;

a= (-32)ft/s^2;   Segundos, por convención, se abrevia:  "s".

Vo= (-8) ft/s.

Integro da/dt, que me dará V(t) =  at + Vo;

Si vuelvo a integrar, ahora:  dV/dt, obtengo e(t).

e(t) = (1/2)at^2 + Vot + eo;  doy valores para obtener luego "t".

6ft = (1/2)*(-32)(ft/s^2)*t^2 + (-8)(ft/s)*t + 54 ft;

0 = (-16) t^2 -8 t + 48;  0=-2t^2 - t + 6;  al simplificar por 8;  Baskara:

t=[1+-√(1+48)]/(-4);  t= (1+-7)/(-4);  t=(-2) (no válido por negativo) y t=0.75 s;

Reemplazo en:   V(t) =  at + Vo;

V(t) = (-32)(ft/s^2) * 0.75s + (-8) (ft/s)

####  V(t) = (-32) (ft/s)

La respuesta de Carlos Antonio es la correcta.  Disculpas por 3/4 en vez de 3/2.

NUestro sistema de coordenadas es el eje POR coincide con el suelo y el eje Y nace del suelo hacia arriba: trabajaremos con vectores

a=32 (-j) fts^2       Vo=8(-j) ft/s    S(o)=54(+j) ft

S(t)=So+Vo*t+(1/2)a*t^2

para t=0 tenemos S(o)=So+Vo(0)+(1/2)a*(0)^2  o sea S(o)=So=54ft, nuestra ecuación nos queda:

S(t)=54(+j)+8*t(-j)+(1/2)(32)*t^2(-j)  ft

S(t) = (54 - 8*t - 16*t^2)(+j) ft ................(1)

Cuando la pelota golpea la cabeza de la persona S(t)=6(+j) ft, reemplazando en (1)

6(+j) = (54 - 8*t - 16*t^2)(+j), entonces:

6 = 54 - 8*t - 16*t^2

16*t^2+8*t-48=0 simplificando: 2*t^2+t-6=0 resolviendo t=1.5s

Ecuación de la velocidad:

Vf=Vo + a*t      entonces:  Vf=8(-j) + 32*t(-j) reemplazando t=1.5s:

Vf = 8(-j)+32*1.5(-j)

Vf = 8(-j) + 48(-j)

Vf = 56(-j) ft/s el vector (-j) indica que la velocidad va hacia abajo tal como se esperaba

|Vf|= 56 ft/s