Problema ecuación diferencial no homogénea

4y" + 36y = 1/sen(3x);  divido todo por 4 para dejar libre a y":

y" + 9y = 1/4sen(3x);

y(h):  Auxiliar:  m^2+9=0;  m= √-9; m=+-3i 

y(h) = C1Cos3x + C2Sen3x.

Para y(p) usaré Variación de parámetros:  y(p) = u1Cos3x + u2Sen3x.

W:   Cos3x  %%%  Sen3x

        -3sen3x %%%  3Cos3x;    

[3Cos^2(3x)] + [3sen^2(3x)] = 3 * [cos^2(3x) + sen^2(3x)];  3*1= 3.

W=3

W1:  0  %%%  Sen3x

        1/4sen(3x) %%%  3Cos3x;

0 - [Sen(3x)*1/4sen(3x)] = (-1/4);

W1= (-1/4)

W2:  Cos3x  %%%  0

        -3sen3x %%%  1/4sen(3x);    [Cos(3x)/4sen(3x)] - 0;

u2=(1/4)Cotg(3x)

u1= ∫ [W1/W]

u1 = ∫ (-1/4) / 3;  

u1= (-1/12)x

u2= (1/4)∫ Cotg (3x)*dx/3;  

u2= (1/36) ln|sen(3x)|

Genero y(p) con los resultados de u1 y u2:

y(p) = (-1/12)x*Cos(3x) + (1/36)ln|sen(3x)|*sen(3x)

y=y(h)+y(p);

y= C1Cos3x + C2Sen3x - (1/12)x*Cos(3x) + (1/36)ln|sen(3x)|*sen(3x).

Observar que el segundo y cuarto monomios no son linealmente dependientes porque el último tiene una multiplicación por ln|sen(3x)|, que deshace la dependencia lineal.