Determinar la Cota Superior e Inferior

Veamos un par de términos...

a_1 = (1+3)/(4*1-1) = 4/3

a_2 = (2+3)/(4*2-1) = 5/7

a_3 = (3+3)/(4*3-1) = 6/11

Se ve que la función es decreciente por lo que el máximo será a_1 = 4/3, vamos a demostrar que es decreciente, para esto planteamos

$$\begin{align}&a_n - a_{n+1} > 0\\&\frac{n+3}{4n-1} - \frac{(n+1)+3}{4(n+1)-1} = \frac{n+3}{4n-1} - \frac{n+4}{4n+3} =\\&\frac{(n+3)(4n+3)-(n+4)(4n-1) }{(4n-1)(4n+3)}=\frac{4n^2+3n+12n+9-4n^2+n-16n+4 }{(4n-1)(4n+3)}=\\&\frac{13 }{(4n-1)(4n+3)}\\&\text{El numerador es positivo y el denominador también (para n>0), por lo tanto}\\&>0\end{align}$$

Demostrado que la función es decreciente, queda ver cual es el mínimo que será en el límite cuando n tiende a infinito que en este caso es 1/4

Salu2