Cuál de las siguientes funciones es una solución de la ecuación diferencial (d^2y / dx^2) - (dy / dx) - y - e^x = -xe^x , :
1. Una función y = f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación la reducen a una identidad.
De acuerdo a la ecuación diferencial: (d^2y / dx^2) - (dy / dx) - y - e^x = -xe^x, cuál de las siguientes funciones es una solución:
A. Y = -xe^-x
B. Y = xe^-x
C. Y = xe^x
D. Y = -e^x
1 Respuesta
;)
Hola Laura Rodriguez!
La ecuación diferencial (ED)la podemos escribir también así:
y '' -y'- y - e^x =-xe^x
Tenemos que calcular la primera y segunda derivada de las posibles soluciones y sustituirlo todo en la ED para ver si se cumple o no la igualdad.
Como tenemos 4 soluciones, veamos si podemos descartar alguna de ellas. Si las examinas con detalle observa que las dos primeras(A y B) llevan el factor exp(-x):
$$\begin{align}&e^{-x}\end{align}$$mientras que el segundo miembro de la ED es un factor de exp(x):
$$\begin{align}&-xe^x\end{align}$$Como la derivada de :
$$\begin{align}&D(e^{-x})=-e^{-x}\end{align}$$al sustituir y operar las soluciones A y B en la ED dará un factor de e^x
Luego las dos primeras no son.
La D tampoco lo será, ya que al derivar e^x sale e^x, y en el segundo miembro de la ED tenemos
$$\begin{align}&xe^x\end{align}$$$$\begin{align}&y=-e^x\\&\\&y'=-e^x\\&\\&y''=-e^x\\&\\&Sustituyendo\ en \ ED:\\&y''-y'-y-e^x=-xe^x\\&\text{al sumar términos con solo} \ e^x, \text{no aparecerá} \ xe^x\end{align}$$Resumiendo que se intuye que será la C:
$$\begin{align}&y=xe^x\\&\\&y'=1e^x+xe^x=e^x(1+x)\\&\\&y''=e^x(1+x)+e^x=e^x(2+x)\\&\\&sustituyendo \ en \ ED:\\&y''-y'-y-e^x=-xe^x\\&\\&e^x(2+x)-e^x(1+x)-xe^x-e^x\stackrel{?}{=}-xe^x\\&\\&e^x(2+x-1-x-x-1) \stackrel{?}{=}-xe^x\\&\\&e^x(-x)=-xe^x\\&Si\ cumple\end{align}$$Es la C
