El conjunto de todas las antiderivadas de f(x)

Buenas noches Me podrían colaborar por favor con la solución de la siguiente pregunta.

El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo ∫𝒇(𝒙)𝒅𝒙 =𝑭(𝒙) +𝑪. Resolver aplicando las propiedades básicas, las siguientes integrales:

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Respuesta
1

∫ [(2x+3) / (x+2)] *dx;  reducción a fracciones simples:

(2x+3)  /  (x+2) = 1 + [(x+1)/(x+2)];  o:

1 + [(x+1+1-1)/(x+2)] = 1 + [(x+2)/(x+2)] - [1/(x-+2)]; o:

1 + 1 - [1/(x+2)];  quedando ahora:

∫ dx + ∫dx - ∫ [1/(x+2)]*dx;  

Para la última integral:  CDV:  u=x+2;  du=dx;

∫ dx + ∫dx - ∫ du/u;  integro:

x + x - ln u + C;  devuelvo variable:

######    2x - ln(x+2) + C;  que es tu respuesta.

Corroboro por derivación:

2 - 1/(x+2);  [2(x+2) - 1] / (x+2);

(2x+4 - 1) / (x+2);  

(2x+3) / (x+2);  que es tu función a integrar, lo que es correcto.

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