¿Como saber si la integral impropia es convergente o divergente?
Determinar si la integral impropia anterior es convergente o divergente.
∫ (de -1 a 2) x^2dx / √(x^3 +1);
Vemos que la función está definida para todo x>(-1): de lo contrario, en x=(-1) queda una indefinición 1/0 y para valores de x menores a (-1) queda la raíz cuadrada de un número negativo (obligaría a trabajar en Complejos).
Si tomamos límite por derecha para x-> (-1) de: x^2 / √(x^3 +1),
Queda: 1/0; con lo que el límite tiende a +∞.
Sin embargo puede resolverse esta integral mediante una serie de sustituciones:
CDV: u=x^3 + 1; du=3x^2*dx; dx= du/3x^2;
Además: Para x=(-1): u=0; Para x=2: u=9; reemplazo dx:
∫ (de 0 a 9) [x^2 / √(x^3+1)]* (du/3x^2); simplifico:
∫ (de 0 a 9) (1/3) * du/ √u;
CDV: s=√u; ds=du/2√u; o lo que es igual: ds=du/2s; du=2s*ds;
Además: Para u=0: s=0; Para u=9: s=3; reemplazo:
∫ (de 0 a 3) (2/3) sds/s; simplificando:
∫ (de 0 a 3) (2/3) ds; integro:
Indefinida: (2/3) s + C;
Para s=3: 2;
Para s=0: 0; Resto: 2-0=2;
Tu área vale 2 Unidades^2.
