Ejercicios de optimización, volumen de un cono con derivadas

Esta es una pregunta de examen, pero a mí me sale otro resultado.

Obtengo la función de el volumen del cono respecto del ángulo, hasta allí todo me sale igual pero luego cuando derivo, ya mi resultado difiere del que han dado en la respuesta. A mí me sale el ángulo igual a

4π/3.

Lo que yo he hecho es meter dentro de la raíz todo y luego hacer dos fracciones y derivar con respecto al ángulo. Debería obtener el mismo resultado, pero en el procedimiento que dan la derivada que han colocado me parece que no es correcta, el paréntesis del denominador debería estar dentro de una raíz cuadrada. ¿Me equivoco?

Aquí la pregunta

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2 respuestas

Respuesta
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Voy a calcular la derivada de la función, pero como esa letra está complicada, la llamaré 'x' :-)

$$\begin{align}&f(x) = \frac{R^3x^2 \sqrt{4 \pi^2 - x^2}}{24 \pi^2}\\&\text{La voy a escribir de otro modo (me resulta más sencillo para derivar)}\\&f(x)  = \frac{R^3}{24 \pi^2} (x^2 ({4 \pi^2 - x^2})^{1/2})\\&f'(x)=\frac{R^3}{24 \pi^2} (2x ({4 \pi^2 - x^2})^{1/2}+ x^2 \frac{1}{2}({4 \pi^2 - x^2})^{-1/2}(-2x))\\&Reacomodando...\\&f'(x)=\frac{R^3 x}{24 \pi^2} \bigg(2 ({4 \pi^2 - x^2})^{1/2}-  \frac{x^2}{({4 \pi^2 - x^2})^{1/2}} \bigg)\\&Factor\ comun...\\&f'(x)=\frac{R^3 x}{24 \pi^2} \bigg(\frac{2 ({4 \pi^2 - x^2})^{1/2}({4 \pi^2 - x^2})^{1/2} - x^2}{({4 \pi^2 - x^2})^{1/2}} \bigg)\\&f'(x)=\frac{R^3 x}{24 \pi^2} \bigg(\frac{ ({8 \pi^2 - 2x^2}) - x^2}{({4 \pi^2 - x^2})^{1/2}} \bigg)\\&f'(x)=\frac{R^3 x}{24 \pi^2} \bigg(\frac{ ({8 \pi^2 - 3x^2}) }{\sqrt{4 \pi^2 - x^2}} \bigg)\end{align}$$

No me da como dicen, pero tampoco como dices tú...

Salu2

Ojo que aunque la derivada me da distinto que a ellos, la solución no cambia ya que f'(x)=0 tiene la misma solución

Respuesta
1

El resultado del libro es correcto. También usaré x para el ángulo.

Derivemos apartando las constantes así: √ π

V(x) = (R^3/24π^2) * [ x^2*√(4π^2 - x^2)];  es un producto de funciones de x.

V'(x) = (R^3/24π^2) * [[ 2x√(4π^2 - x^2) + (( x^2 *{1/[2√(4π^2 - x^2)]} * (-2x)))]];

V'(x) = (R^3/24π^2) * (( 2x√(4π^2 - x^2) -  {x^3 /[√(4π^2 - x^2)]} ));

V'(x) = (R^3/24π^2) * { [2x (4π^2 - x^2) -  x^3 ] /[√(4π^2 - x^2)]}; 

Igualo a 0:

0 = (R^3/24π^2) * { [2x (4π^2 - x^2) -  x^3 ] /[√(4π^2 - x^2)]}; simplifico todos los productos de la derecha, que se van al multiplicar y dividir al 0 de la izquierda:

0 = 2x (4π^2 - x^2) -  x^3;

2x (4π^2 - x^2) =  x^3;

8xπ^2 - 2x^3 = x^3;

8xπ^2  = 3x^3;

(8/3)π^2 = x^2;

x= 2π √(2/3);  tal cual el libro.

Donde dice apartaremos las constantes así, no deber ir la raiz ni pi.

Revisando los c'alculos vi mi error. Aunque, mi confusión era por la derivada de la función, a mí me sale en el denominador 24π^2  √(4π^2 - v^2), creo que ha sido un error de impresión.

Un saludo.

Es correcto, e igual a lo que he escrito. Observa en:

"0 = (R^3/24π^2) * { [2x (4π^2 - x^2) -  x^3 ] /[√(4π^2 - x^2)]}; simplifico todos..."

Podría haber escrito: 0 = {R^3/ [24π^2√(4π^2 - x^2)]} * [2x (4π^2 - x^2) -  x^3 ], quedando efectivamente el denominador que indicas.

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