Radicación - Racionalización Como se resuelve paso a paso este problema del libro de LEXIMÁTIC 3 Álgebra

Pues veamos... sinceramente no parece que esa sea la respuesta, pero en lugar de hacer especulaciones, creo que lo mejor es intentar resolverlo...

$$\begin{align}&M=\frac{26 - 15 \sqrt{3}}{5 \sqrt{2} - \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}}}=\\&\frac{26 - 15 \sqrt{3}}{5 \sqrt{2} - \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}}}\cdot \frac{26 + 15 \sqrt{3}}{26 + 15 \sqrt{3}}=\\&\frac{26^2 - 15^2 \cdot  (\sqrt{3})^2}{(5 \sqrt{2} - \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}})(26 + 15 \sqrt{3})}=\\&\frac{1}{(130 \sqrt{2}+75 \sqrt{6} - 26 \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}} - 15  \sqrt{3(38 + 5 \sqrt{3}})}\\&\text{Por este lado no veo como se pueda seguir avanzando en la simplificación, así que vamos a empezar de nuevo...}\\&...\\&M=\frac{26 - 15 \sqrt{3}}{5 \sqrt{2} - \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}}}=\\&\frac{26 - 15 \sqrt{3}}{5 \sqrt{2} - \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}}} \cdot \frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}}}{5 \sqrt{2} + \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}}}=\\&\frac{(26 - 15 \sqrt{3})(5 \sqrt{2} + \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}})}{25\cdot ( \sqrt{2})^2 -( \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}})^2}=\\&\text{En el numerador lo desarrollé pero la expresión que queda es aún peor, así que lo dejo como está}\\&\frac{(26 - 15 \sqrt{3})(5 \sqrt{2} + \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}})}{50 - 38 + 5 \sqrt{3}}= \\&\frac{(26 - 15 \sqrt{3})(5 \sqrt{2} + \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}})}{12 + 5 \sqrt{3}}=\\&\frac{(26 - 15 \sqrt{3})(5 \sqrt{2} + \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}})}{12 + 5 \sqrt{3}} \cdot \frac{12 - 5 \sqrt{3}}{12 - 5 \sqrt{3}}=\\&\frac{(26 - 15 \sqrt{3})(5 \sqrt{2} + \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}})(12-5 \sqrt{3})}{12^2 - 25 (\sqrt{3})^2}=\\&\frac{(26 - 15 \sqrt{3})(5 \sqrt{2} + \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}})(12-5 \sqrt{3})}{144 - 75}=\\&\frac{(26 - 15 \sqrt{3})(5 \sqrt{2} + \sqrt{38 + 5 \sqrt{3}})(12-5 \sqrt{3})}{69}\\&\text{Creo que es casi imposible llegar de esa expresión a cualquiera de las que figura como resultado}\\&\text{posible ya que no se ven expresiones radicales que se puedan simplificar}\end{align}$$

Salu2