Determine los elementos geométricos al igual que la excentricidad de la ecuación de la cónica
Geometría
Obtener la ecuación en forma canónica de la cónica 4x^2+y^2+8x-4y-8=0, determine todos sus elementos geométricos al igual que la excentricidad, y dibuje la gráfica
Respuesta de Lucas m
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;)
Hola karla!
Completando cuadrados:
$$\begin{align}&(4x^2+8x)+(y^2-4y)=8\\&\\&4(x^2+2x)+(y^2-4y)=0\\&\\&\text{Esos binomios vienen de los siguientes cuadrados:}\\&x^2+2x=(x+1)^2-1\\&y^2-4y=(y-2)^2-4\\&\\&La \ cónica \ queda:\\&4\Bigg[(x+1)^2-1 \Bigg]+(y-2)^2-4=8\\&\\&4(x+1)^2-4+(y-2)^2-4=8\\&\\&4(x+1)^2+(y-2)^2=16\\&\\&Dividiendo \ entre \ 16\\&\\&\frac{4(x+1)^2}{16}+\frac{(y-2)^2}{16}=1\\&\\&\frac{(x+1)^2} 4+\frac{(y-2)^2}{16}=1\\&Elipse\Vertical\\&a= \sqrt {16}=4\ \ \ (semieje\ mayor )\\&b= \sqrt 4= 2 \ \ \ (semieje menor)\\&\\&Centro=(-1,2)\\&\\&Vértices:(-1,2+a)=(-1,6)\\&(-1,2-a)=(-1,-2)\\&\\&Focos:\\&a^2=b^2+c^2\\&\\&c= \sqrt{16-4}= \sqrt {12}\ \ \ (semidistancia \ focal)\\&F=(-1,2+c)=(-1,2+ \sqrt {12})\\&F'=(-1,2-c)=(-1,2- \sqrt {12})\\&\\&exc=\frac c a=\frac{ \sqrt{12}} 4=0.866\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Saludos
;)
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La gráfica:
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