Que método usar en la simplificación de funciones

Lo que conviene es sacar factor común tanto en numerador como en denominador...

$$\begin{align}&\frac{\frac{x+y}{x-y}-\frac{x-y}{x+y}}{\frac{x-y}{x+y}+\frac{x+y}{x-y}}=\frac{\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}}{\frac{(x-y)^2+(x+y)^2}{(x+y)(x-y)}} \text{...(simplifico)}\\&=\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{(x-y)^2+(x+y)^2} \text{....(desarrollo los binomios)}\\&=\frac{x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2}{x^2-2xy+y^2+x^2+2xy+y^2} \text{...(cuentas)}\\&=\frac{4xy}{2(x^2+y^2)}= \frac{2xy}{x^2+y^2}\end{align}$$

Salu2

entiendo hasta donde queda 

$$\begin{align}&{{(x+y)^2 -(x-y)^2\over(x-y)(x+y)}\over {(x-y)^2+(x+y)^2 \over(x+y)(x-y)}}\end{align}$$

pero cuando indicas (desarrollo de binomios) me pierdo, utilizas la regla de los extremos ?

$$\begin{align}&{{a\over b }\over{c\over d }}={(a)(d)\over (b)(c)}\end{align}$$

Fijate que en la regla de los extremos que ponés, los términos b, d son iguales por lo tanto los simplifico, y luego uso el binomio cuadrado perfecto que dice

$$\begin{align}&(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\end{align}$$

Salu2

de acuerdo, en resumen:

si 

$$\begin{align}&{{a\over b}\over {c\over b} }={a\over c}\end{align}$$