S e a la funcion f(x)=2x^3-54x para que valor de x es decreciente la funcion
$$\begin{align}&f(x)=2x^3-54x \ \ que \ \ valores\ \ de \ \ x\ \ es \ \ decreciente\\&\\&A) \ \ \ \ { \{ x \ | \ x>3 \} }\\&\\&B) \ \ \ \ { \{ x \ | \ x<-3 \} }\\&\\&C) \ \ \ \ { \{ x \ | \ -3< x<3 \} }\\&\\&D) \ \ \ \ { \{ x \ | \ x=-3, \ x=3 \} }\end{align}$$
1 respuesta
Cuando se trata de estudiar todo el crecimiento de la función, creamos los intervalos de crecimiento a partir de ordenar de menor a mayor los puntos críticos de la función: puntos donde Y'=0 i puntos de Discontinuidad.
Empecemos con una función continua como está(todas las polinómicas lo son).
La única manera que una función así cambie de continuidad es que pase por un máximo o mínimo relativo, puntos de tangente horizontal y que el signo de la derivada cambie a izquierda y derecha de este punto.
Por eso lo primero que haremos es buscar los puntos donde Y'=0
Y'=6x^2-54
6x^2-54=0
x^2=54/6=9
x=3. x=-3
Dos puntos críticos==> tres intervalos de crecimiento:
(-infinit,-3)
(-3,3)
(3,+ infinito)
Evidentemente esos intervalos se crean en el eje X,
Ahora para saber si en cada intervalo es creciente o decreciente solo tienes que estudiar el signo de la derivada en un punto cualquiera del interior del intervalo
Y'(-10)=600-54>0 ==> (-infinit,-3) creciente
(-3,3)==> y'(0)=-54<0 ==> decrece
(3,+infinito) ==> Y'(10)=600-54>0 crece
Luego la C
Lucas, siguiendo los mismos pasos para saber en que valores es creciente, y en cuales decreciente para la función
$$\begin{align}&y=x+4x^2\\&y'=0\\&y'=1+8x\\&1+8x=0\\&x=-{1\over8} \ \longrightarrow el \ punto\ \ en \ donde\ puede \ crecer \ o\ decrecer \\&\\&examino \ en \ valores \ menores \ a \ -{1\over8}\\&por \ \ ejemplo \ -1\\&y'(-1)=1+8(-1)\\&y'=1-8=-7\\&por \ lo \ que \ si \ x<-{1\over8} \ decrece\\&\\&\\&examino \ en \ valores \ mayores\ a \ -{1\over8}\\&por \ \ ejemplo \ 0\\&y'(0)=1+8(0)\\&y'(0)=1\\&por \ lo \ que \ si \ x>-{1\over8} \ crece\\&\end{align}$$debo tomar un valor de equis negativo, y uno positivo? x=3 y x=-3
en este caso x=-1\8 y x=1\8 ?
;)
La derivada igual a 0 te da una ecuacion de primer grado==> solo tienes una solución
X=-1/8
Has de estudiar el signo en un valor a la izquierda y en otro a la derecha de -1/8, como muy bien has hecho. Es independiente de que los dos sean positivos y/o negativo.
Aquí el 1/8 no interviene.
Una ecuación de 2 grado puede tener dos soluciones: x^2=25
X=5. Ya que (5)^2=25
X=-5. Ya que (-5)^2=25
En este ejercicio no es el caso
;)
;)
oh ya, entiendo, muchas gracias :)
Lucas, crees poder apoyarme para conocer para que valor crece y para cual decrece en
$$\begin{align}&y=x^2+{16\over x}\\&y'=2x-16x^{-2}\\&y'=2x-{16\over x^2}\end{align}$$no sabría como despejarla al igualarla a cero. ya me esta afectando eso de los limites de preguntas también
8'C
;)
y'=0
2x-16/x^2=0
2x=16/x^2
2x^3=16
x^3=8
x={3)√8=2
La raíz de índice impar de un positivo es un positivo (una solución)
Aquí tenemos una cosa nueva. Está función es racional. Su dominio son todos los Reales-{0}
No existe f(0) ==> es discontinua en x=0 y aunque evidentemente x=0 no puede ser un extremo, a la hora de crear los intervalos de crecimiento se ha de considerar. Después de una Discontinuidad el crecimiento de una función puede cambiar:
Intervalos de crecimiento:
(-infinit,0) => y'(-10)=-20-0.16<0=> decrece
(0,2) ,=> y'(1)=2-16<0 decrece
(2,+infinito) y'(10)=20-0.16>0 =>crece
En (2,f(2)) hay un mínimo
f (2)=4+8=12
(2,12) mínimo relativo
