Cual es la gravedad de dos planetas con distinta densidad pero misma masa

Si dos planetas A y B tienen la misma masa, pero B tiene densidad doble que A, necesariamente B ha de tener menor volumen y, por tanto, menor radio.

Comparemos entonces los radios y veamos cómo influyen en la aceleración de la gravedad, g.

Para un planeta esférico de masa M y radio R, la densidad es

$$\begin{align}&\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\dfrac{4}{3}\pi\ R^3}=\frac{3\ M}{4\ \pi\ R^3}\end{align}$$

Despejando R

$$\begin{align}&R=\left(\frac{3\ M}{4\ \pi\ \rho} \right)^\dfrac{1}{3}\end{align}$$

La aceleración g en un planeta depende de su masa M y de su radio R

$$\begin{align}&g=G \frac{M}{R^2}\end{align}$$

siendo G la constante de gravitación.

Sustituyendo en esta espresión el valor de R tendremos

$$\begin{align}&g=G \frac{M}{ \left( \dfrac {3\ M}{4\ \pi\ \rho} \right) ^\frac{2}{3} }=G \frac{M}{ \left( \dfrac {3\ M}{4\ \pi} \right) ^\frac{2}{3}·\rho^\frac{2}{3} }\end{align}$$

Englobando en una sola constante todos los factores constantes incluyendo la masa,

$$\begin{align}&g=K·\frac{1}{1/\rho^{2/3}}=K·\rho^{2/3}\end{align}$$

Aplicando esta expresión a los dos planetas, y teniendo en cuenta que la densidad de B es doble que la densidad de A,

$$\begin{align}&g_A=K·\rho_A^{2/3}\\&\\&g_B=K·\rho_B^{2/3}=K·(2·\rho_A)^{2/3}=K·\rho_A^{2/3}·2^{2/3}=g_A·2^{2/3}\end{align}$$

Es decir, la aceleración de la gravedad en B es 2^(2/3) veces mayor que en A, o sea, unas 1,59 veces mayor.