Determine la derivada de la siguiente función

No te confundas con las letras, fijate que la variable de integración es 'v', así que tenemos:

$$\begin{align}&y = \int_{\cos x}^{\sin x} ln(1+2v) dv\\&1+2v=u\\&2 dv = du\\&dv = \frac{du}{2}\\&Remplazando...\\&\int_{\cos x}^{\sin x} ln(u) \frac{du}{2} =\\&\frac{1}{2} \bigg(\frac{1}{u}\bigg|_{\cos x}^{\sin x}\bigg) = \frac{1}{2} \bigg(\frac{1}{1+2v}\bigg|_{\cos x}^{\sin x}\bigg) = \\&\frac{1}{2} \bigg(\frac{1}{1+2\cdot \sin x}-\frac{1}{1+2\cdot \cos x}\bigg) \\&\text{Hasta ahí estaría resuelto, pero calculo que quieren que obtengas una expresión más reducida}\\&\frac{1}{2} \bigg(\frac{(1+2cos x) - (1+2sin x)}{(1+2 \sin x)(1+2 \cos x)}\bigg) =\\&\frac{1}{2} \bigg(\frac{2(\cos x-\sin x)}{1+2 \sin x+2 \cos x+4sin x \cos x}\bigg) =\\&\frac{(\cos x-\sin x)}{1+2 (\sin x+ \cos x)+2sin (2x)}\end{align}$$

y ahora sí no veo mucho más para hacer.

Salu2

;)
Hola Yani!

$$\begin{align}&y = \int_{\cos x}^{\sin x} ln(1+2v) dv\\&1+2v=u\\&2 dv = du\\&dv = \frac{du}{2}\\&\\&\int lnu du= por \ partes=uln|u|-u\\&\\&= \frac 1 2\Bigg[(1+2v)ln|1+2v|-|1+2v| \Bigg ]_{cosx}^{senx}=\\&\\&\frac 1 2 \Bigg [(1+2sinx)ln|1+2sinx|-|1+2sinx|-(1+2cosx)ln|1+2cosx|-1-2cosx \Bigg]\end{align}$$

La integral del lnx por partes es: