¿Cómo demostrar que (n(n+1)/2)^2 por inducción?

;)
Hola 49StayStrong!

Para demostrar algo por inducción has de conocer la respuesta.

Esa fórmula de allí se corresponde al cuadrado de la suma de n natutales. Ya que:

$$\begin{align}&1+2+3+ ···+n=Progresión \ aritmética= \frac{(a_1+a_n)n} 2= \frac {(1+n)n} 2\\&\\&==>\\&\Big[\frac {n(1+n)} 2 \Big]^2=(1+2+3+····+n)^2\\&\\&Esa \fórmula \ es \ conocida \ y \ vale:\\&\\&(1+2+3+····+n)^2=1^3+2^3+3^3+······+n^3\\& Veamos \ se \ cumple \ para \ n=1\\&\\&1^2=1^3\\&\\& Y \ para  \ n=2\\&(1+2)^2=1^3+2^3\\&3^2=1+8\\&\\&Ahora \ suponiendo \ que \ se \ cumple \ para \ \ n=n, \ demostraremos \ que \ se \ cumple \ para \ n+1\\& \Big [\frac{(n+1)(n+2)} 2 \Big]^2=\Big [(1+2+3+·····+n+(n+1) \Big]^2=\\&propiedad \ asociativa\\&=\Big [(1+2+3+·····+n)+(n+1) \Big]^2\\&\\&Identidad \ Notable: (A+B)^2=A^2+2AB+B^2\\&\\&=(1+2+3+ ·····+n)^2+(n+1)^2+ 2(1+2+3+····+n)(n+1)=\\&\\&Por \ hipótesis\\&\\&=(1^3+2^3+3^3+····+n^3)+(n+1)^2+ 2(1+2+3+····+n)(n+1)\\&\\&Suma \ de \ n \ términos \ de \ una \ progresión \ aritmética\\&\\&(1^3+2^3+3^3+····+n^3)+(n+1)^2+ 2 \frac {n(n+1)} 2(n+1)=\\&\\&(1^3+2^3+3^3+····+n^3)+(n+1)^2+ n(n+1)^2=\\&\\&factor \ común \ a \ (n+1)^2\\&\\&(1^3+2^3+3^3+····+n^3)+(n+1)^2(1+n)=\\&\\&1^3+2^3+3^3+·····+n^3+(n+1)^3\\&\\&c.q.d.\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

c.q.d. (como queríamos demostrar)

Saludos y recuerda votar

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