Calcular la varianza de dos variables aleatorias independientes
Sean x e y variables aleatorias independientes tal que:
X sigue la distribución binomial (1;1/4)
Y sigue la distribución binomial (2;1/4)
Hallar:
$$\begin{align}&varianza(3^{\left(x\cdot y\right)^{ }})\end{align}$$
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¡Hola Matías!
La variable X toma estos valores
P(0) = 3/4
P(1) = 1/4
la variable Y toma estos valores
P(0) = (3/4)^2 = 9/16
P(1) = 2·(3/4)·(1/4) = 6/16
P(2) = (1/4)^2 = 1/16
Llamaré Z= 3^(XY) porque se usará bastante
Entonces la variable Z tiene estas probabilidades
P(Z=1) = P(3^0) = P(XY=0) = P(X=0) + P(X=1, Y=0)
casi mejor dejo esta para el final
P(Z=3) = P(3^1) = P(XY=1) = P(X=1, Y=1) = (1/4)·(6·16) = 6/64 = 3/32
P(Z=9) = P(3^2) = P(XY=2) = P(X=1, Y=2) = (1/4)·(1/16) = 1/64
Con lo cual
P(Z=1) = 1 - 6/64 - 1/64 = 57/64
Aunque no haría falta, veamos que P(1) vale eso haciendo las cuentas:
P(Z=1) = 3/4 + (1/4)·(9/16) = 3/4 + 9/64 = (48+9)/64 = 57/64
Vamos a dejar resumidas la probabilidades de Z
P(Z=1) = 57/64
P(Z=3) = 6/64
P(Z=9) = 1/64
Y ahora se calcula media y varianza de la forma habitual, primero la media
media = (57 + 3·6 + 1·9) / 64 = 84/64 = 21/16 = 1.3125
Ahora usaremos V(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2
E(Z^2) es la suma de cuadrados por su probabilidad respectiva
E(Z^2) = (57 + 9·6 + 81·1) / 64 = 192/64 = 3
V(Z) = 3 - (21/16)^2 = 3 - 441/256 = 327/256 = 1.27734375
Si no te gusta este método que es el más rápido, puedes usar el de
V[Z] = E([Z - media]^2) =
(57/64)(1-1.3125)^2 + (6/64)(3-1.3125)^2 + (1/64)(9-1.3125)^2 =
(57/64) 0.09765625 + (6/64)2.84765625 + (1/64)59.09765625 =
0.08697509766 + 0.2669677734 + 0.9234008789 = 1.27734375
Que es lo mismo pero con muchas más cuentas
Y eso es todo, sa lu dos.
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