Limites al infinito de la siguiente función

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Hola Misael Landero!

Es una indeterminación infinito -infinito; que a veces se resuelven operando, cosa que no se puede hacer cuando hay un radical por medio. Entonces se multiplica y divide la expresiónpor su binomio conjugado, y así poder aplicar la identidad notable:

$$\begin{align}&(A+B)(A-B)=A^2-B^2\\&\\&\lim_{x \to +\infty} ( \sqrt {3x^2+x}-2x)= \infty-\infty=\\&\\&\lim_{x \to +\infty} ( \sqrt {3x^2+x}-2x)· \frac{ ( \sqrt {3x^2+x}+2x)}{ ( \sqrt {3x^2+x}+2x)}=\\&\\&\lim_{x \to +\infty} \frac{( \sqrt {3x^2+x})^2-(2x)^2}{( \sqrt {3x^2+x}+2x)}=\\&\\&\lim_{x \to +\infty} \frac{  {3x^2+x}-4x^2}{  \sqrt {3x^2+x}+2x}= \\&\\&\lim_{x \to +\infty} \frac{  {-x^2+x}}{  \sqrt {3x^2+x}+2x}=\frac{- \infty}{+\infty}= términos \ dominantes=\\&\\&\lim_{x \to +\infty} \frac{-x^2}{ \sqrt {3x^2}+2x}= \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^2}{(\sqrt 3 +2)x}= \frac{1}{\sqrt 3 +2} \lim_{x \to +\infty}  \frac{-x^2}{x}=\\&\\&\frac{1}{\sqrt 3 +2} \lim_{x \to +\infty}  (-x)= -\infty\end{align}$$

Hay que coger los términos dominantes del numerador y denominador.

El del numerador es el de grado 2 (3x^2)

El del denominador son los de grado 1:

$$\begin{align}&\sqrt{3x^2}+2x\end{align}$$

 un término de grado 2 en una raíz cuadrada equivale a un término de grado uno.

Saludos

;)

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¡Hola Misael!

Este tipo de límites no se concibe resolverlos de otra forma que no sea multiplicando y dividiendo por el conjugado. No obstante hay algunos en los que quitando los términos de menor peso se pueden resolver. Pero hay que tener algo de cuidado con este método

$$\begin{align}&\lim_{x\to \infty} ( \sqrt{3x^2+x}-2x) =\\&\\&\lim_{x\to\infty}(\sqrt{3x^2}-2x)=\\&\\&\lim_{x\to \infty}(\sqrt 3\;x-2x)=\\&\\&\lim_{x\to \infty} x(\sqrt 3-2)=\\&\\&\lim_{x\to \infty} -0.267949 x= -\infty\end{align}$$

Y si se quiere hacer sin usar para nada lo de los términos de más peso sería así.

$$\begin{align}&\lim_{x\to \infty} ( \sqrt{3x^2+x}-2x) =\\&\\&\lim_{x\to \infty} ( \sqrt{3x^2+x}-2x) · \frac{ \sqrt{3x^2+x}+2x}{ \sqrt{3x^2+x}+2x}=\\&\\&\lim_{x\to \infty} \frac{3x^2+x-4x^2}{\sqrt{3x^2+x}+2x}=\\&\\&\lim_{x\to \infty} \frac{-x^2+x}{\sqrt{3x^2+x}+2x}=\\&\\&\text{dividimos todo entre x}\\&\\&\lim_{x\to \infty} \frac{-x+1}{\frac{\sqrt{3x^2+x}}{x}+2}=\\&\\&\lim_{x\to \infty} \frac{-x+1}{\sqrt \frac{{3x^2+x}}{x^2}+2}=\\&\\&\lim_{x\to \infty} \frac{-x+1}{\sqrt {3+\frac{1}{x}}+2}=\frac{-\infty+1}{\sqrt 3+2}= -\infty\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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