Puntos medios de las diagonales de un trapecio

;)
Hola David!

Por construcción se cumplen las siguientes igualdades vectoriales:

(*) AB+BD=AD    ===> BD=AD-AB   ===> DB=AB-AD

(**) AC=AD+DC

MN=MG+GN=(AC-AM-GC)+(DB-DG-NB)=

por hipótesis:

$$\begin{align}&\vec{AM}=\frac{1}{2} \vec{AC}\\&\\&\vec{NB}=\frac{1}{2} \vec{DB}\\&\\&\vec{MN}=(\vec{AC}-\vec{AM}-\vec{GC})+(\vec{DB}-\vec{DG}- \vec{NB})=\\&\\&\vec{AC}-\frac{1}{2} \vec{AC}-\vec{GC} +\vec{DB}-\vec{DG}- \frac{1}{2} \vec{DB}=\\&\\&\frac{1}{2} \vec{AC}+ \frac{1}{2} \vec{DB}-(\vec {DG}+\vec{GC})=\\&\\&\\&\frac{1}{2} \vec{AC}+ \frac{1}{2} \vec{DB}-\vec{DC}=\\&\\&de (*) i (**):\\&\\&\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{DC})+ \frac{1}{2}(\vec{AB}-\vec{AD})-\vec{DC}=\\&\\&\frac{1}{2} \vec{DC}+\frac{1}{2}\vec{AB}-\vec{DC}=\frac{1}{2} \vec{AB}- \frac{1}{2} \vec{DC}= \frac{1}{2} (\vec{AB}-\vec{DC)}\ \ (***)\\&\end{align}$$

analizando la última expresión tenemos que por ser un trapecio las bases son paralelas luego los vectores AB y DC  son proporcionales, luego:

$$\begin{align}&\vec{MN}= \frac {1}{2}(\vec{AB}- \alpha  \vec{AB})=\frac{1-\alpha}{2}\vec{AB}=k \vec{AB}\end{align}$$

lo cual nos demuestra que MN es proporcional a AB y por tanto paralelo a las bases

Luego de (***) deducimos que MN es paralelo a las bases, y además que su longitud es la semidiferencia de las bases.

SAludos

;)

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