Duda al resolver este limite
Tengo dudas a la hora de resolver este limite:
Lim x->0 de (x+cos(x))^(1/x)
Al resolverlo a mi me sale como resultado "e^0=1" pero siempre me gusta comprobar los resultados en un calculador online de internet y en este sale de solución "e"
Si pudiesen explicarme paso por paso su resolución a ver si en algo me estoy equivocando.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola R.Sanchez!
Una definición del número e es esta:
$$\begin{align}&\lim_{f(x)\to 0} (1+f(x))^{ \frac{1}{f(x)}}\\&\\&\lim_{x\to 0}(x+ \cos x)^{\frac 1x}=\lim_{x\to 0}(1+x+\cos x-1)^{\frac 1x}=\\&\\&\lim_{x\to 0}(1+x+\cos x-1)^{\frac 1x·\frac{x+\cos x-1}{x+\cos x+1}}=\\&\\&lim_{x\to 0}\left((1+x+\cos x-1)^{\frac{1}{x+\cos x-1}}\right)^\frac{x+\cos x-1}{x}=\\&\\&lim_{x\to 0}\left((1+x+\cos x-1)^{\frac{1}{x+\cos x-1}}\right)^{\lim_{x\to 0} \frac{x+\cos x-1}{x}}=\\&\\&e^{\lim_{x\to 0} \frac{x+\cos x-1}{x}}\\&\\&\text{Vamos a resolver el límite por separado que se ve muy pequeño}\\&\\&\lim_{x\to 0} \frac{x+\cos x-1}{x}=1+\lim_{x\to 0} \frac{\cos x-1}{x}=\\&\\&1+\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1-sen^2x}-1}{x}=\\&\\&1+\lim_{x\to 0} \frac{1-sen^2x-1}{x(\sqrt{1-sen^2x}+1)}=\\&\\&1+\lim_{x\to 0} \frac{-sen^2x}{x(\sqrt{1-sen^2x}+1)}=\\&\\&1+\lim_{x\to 0} \frac{sen\,x}{x}· \lim_{x\to 0} \frac{-senx}{\sqrt{1-sen^2x}+1}=\\&\\&1+1·\frac{-0}{2}= 1+0=1\\&\\&\text{Luego el resultado es}\\&\\&\lim_{x\to 0}(x+ \cos x)^{\frac 1x}=e^1=e\\&\\&\end{align}$$El límite se podría calcular más rápido si hubiéramos usado la regla de l'Hôpital, pero yo no no sé si te dejan usarla.
Y eso es todo, sa lu dos.
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