Como derivadas evaluación máximos y mínimos

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¡Hola Angy!

La distancia vertical entre dos funciones es la diferencia de las funciones, la superior menos la inferior. Si las funciones se cruzaran habría que emplear el valor absoluto de la diferencia y sería un poco más complicado, pero por lo que se ve en la figura no se cruzan en el intervalo [-2, 1] no obstante lo verificaremos.

Las funciones son

y= x^2-1

y = 1 - x

Los puntos de corte son

x^2 - 1 = 1 - x

x^2 + x - 2 = 0

(x+2)(x-1) = 0

x=-2

x=1

Luego se cruzan en los extremos, en el medio no.  Vemos que la función superior es

y=1-x 

ya que para x=0  vale  1  mientras que y= x^2-1  vale -1

Luego la distancia es

d(x) = 1-x -(x^2-1) = -x^2 - x +2

Para calcular el máximo derivamos e igualamos a 0

d'(x) = -2x -1 = 0

2x=-1

x=-1/2

La derivada segunda es

d''(x)= -2  

Luego es un máximo

Y su valor es

d(1/2) = -(1/2)^2 - 1/2 + 2 = -1/4 - 1/2 + 2 = (-1-2+8)/4 = 5/4

Esa es la distancia máxima.

Y eso es todo, sa lu dos.

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Vemos que entre los valores dados, la recta está por arriba de la parábola, luego si calculamos la diferencia entre las dos curvas, tenemos que

$$\begin{align}&h = 1-x - (x^2-1) = -x^2-x+2\\&\text{Derivamos h respecto a x}\\&h'(x) = -2x-1\\&\text{Habrá un máximo o mínimo local, cuando h' =0}\\&0 = -2x-1 \to x=-\frac{1}{2} \text{ (que está dentro del rango, ahora veremos si es máximo o mínimo)}\\&h''(x) = -2 <0 \ \forall x \to x = -\frac{1}{2}\ es\ máximo\end{align}$$

Salu2