Anónimo
Dada la siguiente matriz, calcular:
Obtener el polinomio característico, resolver la ecuación característica y calcular los autovalores y autovectores. Diagonalizar, si es posible.
1 respuesta
Esta página es muy mala para trabajar con matrices, así que intentaré resolverlo directamente
Det (A - L I) = 0....................(L = lambda , I=Identidad)
A - L I =
2 - L....0 .... 0
5...-3 - L .... -3
0 .... 0 .... -2 - L
Expandiendo el determinante por la primer fila tenemos que Det =
(2-L)(-3-L)(-2-L)
Como eso debe ser cero, tenemos que
L = 2 , L = -3 , L = -2
vectores característicos:
L = 2 ...Av = Lv
(2.... 0 .... 0 ) (v_1) = (2 v_1)
(5... -3 .... -3) (v_2) = (2 v_2)
(0 ....0 .... -2) (v_3) = (2 v_3)
Multiplicando e igualando
2v_1 = 2v_1 ...entonces v_1 = v_1 (no aporta nada)
5v_1 - 3v_2 - 3v_3 = 2v_2
-2v_3 = 2v_3 ...entonces v_3 = 0
Reemplazando
5v_1 - 3v_2 = 2v_2...entonces 5v_1 = 5v_2 entonces v_1 = v_2
v = (1, 1, 0) (asociando a L = 2)
L = -3 ...Av = Lv
(2.... 0 .... 0 ) (v_1) = (-3 v_1)
(5... -3 .... -3) (v_2) = (-3 v_2)
(0 ....0 .... -2) (v_3) = (-3 v_3)
2v_1 = -3v_1 ...entonces v_1 =0
5v_1 - 3v_2 - 3v_3 = -3v_2
-2v_3 = -3v_3 ...entonces v_3 = 0
reescribiendo la segunda -3v_2 = -3v_2
v = (0,1,0) (asociado a L=-3)
L = -2 ...Av = Lv
(2.... 0 .... 0 ) (v_1) = (-2 v_1)
(5... -3 .... -3) (v_2) = (-2 v_2)
(0 ....0 .... -2) (v_3) = (-2 v_3)
2v_1 = -2v_1 ...entonces v_1 =0
5v_1 - 3v_2 - 3v_3 = -2v_2
-2v_3 = -2v_3 ...entonces v_3 = 1
reescribiendo la segunda -3v_2 - 3 = -2v_2 ...entonces v_2 = -3
v = (0,-3,1) (asociado a L=-2)
Ya tenemos los 3 vectores propios asociados a sus autovalores, luego podemos escribir la matriz A, como
A = P D P^{-1}
D =
2...0...0
0...-3...0
0...0...-2
P =
1...0...0
1...1...-3
0...0....1
Cuya matriz inversa P^{-1} es
1...0...0
-1...1...3
0...0....1
Y eso es todo.
Salu2