Quien gana una mega solución de calculo

:)

Y hablando de ganar:

¿Qué tal si intentas "ganar una" haciendo la sustitución

t = sen(2x)

ya que al diferencial tendrías:

dt = 2 cos(2x) dx ???...

:)

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¡Hola Esneider!

EL segundo terorema fundamental del cáculo dice que si f(x) es integrable en un intervalo [a, b] y F(x) es cualquier primitiva de x entonces la integral definida entre a y b de f(x) es F(b) - F(a). Luego calcularemos una integral indefinida (obvia decir que esta vez le daremos una patada a la C) y luego la evaluaremos.

$$\begin{align}&F(x)=\int sen^3(2x)\cos(2x)\,dx =\\&\\&t=sen(2x)\\&dt=2cos(2x)\;dx  \implies \cos(2x)dx=\frac 12 dt\\&\\&=\frac 12 \int t^3\, dt=\frac 12·\frac{t^4}{4}= \frac{t^4}{8}= \frac{sen^4(x)}{8}\\&\\&F(x)=\frac{sen^4(x)}{8}\\&\\&\text{Y la integral indefinida es}\\&\\&F\left(\frac \pi 4\right)-F(0)=\frac{sen^4\left(\frac \pi 4\right)}{4}-\frac{sen^4\left(0\right)}{4}=\\&\\&\frac{\left(\frac{\sqrt 2}{2}  \right)^4}{4}-\frac 04=\frac{\frac{4}{16}}{4}-0=\frac{4}{16·4}=\frac {1}{16}\\&\end{align}$$

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