Tengo la siguiente integral que debo resolver:
$$\begin{align}&\int\frac{\sqrt{x+a}}{x+b} dx\\&\end{align}$$La verdad hasta ahora no habia tenido problemas con integrales, pero esta se me esta poniendo difícil.
1 Respuesta
·
·
¡Hola Fabiola!
Las raíces son malísimas, vamos a ver si se puede quitar, haremos que se la coma la diferencial del cambio
$$\begin{align}&\int \frac{\sqrt{x+a}}{x+b}dx=\\&\\&t= (x+a)^{\frac 32}\implies x= t^{\frac 23}-a\\&\\&dt=\frac 32(x+a)^{\frac 12}dx\implies \sqrt{x+a}\;dx=\frac 23 dt\\&\\&=\frac 23\int \frac{dt}{t^{\frac 23}-a+b}=\\&\\&t=z^3\\&dt= 3z^2 dz\\&\\&=2\int \frac{z^2}{z^2-a+b}dz = 2\int \left(1 +\frac{a-b}{z^2-a+b} \right)dz\end{align}$$Y ya tienes una integral racional que si dices que se te da bien tendrías que saber resolver, salvo que he de decirte que hay dos respuestas posibles, bueno tres
Si a=b es inmediata
Si a>b quedan raices reales distintas, lo más sencillo.
Si a<b quedan raíces complejas conjugadas, un poco más difícil.
Y nunca olvides deshacer los dos cambios de variable que he hecho.
Te dejo las respuestas para comprobar si las haces bien, la primera es muy probabe que te salga otra expresión pero igual. No lo he hecho con Wolfram porque hablaba de tangentes hiperbólicas, está hecha con Máxima.
·
Y eso es todo, sa lu dos.
:
:
¡Gracias! Sin problema el resto!!! Si me salio uno poco diferente pero en resumen es lo mismo...
Gracias por ayudarme con la transformación!
Saludos!
