Derivada parcial segunda de implícita

Falte a la clase de implícitas ayuda!

z=f(x;y) definida implícitamente por 8xz-3xy+ln(zy)=0

z"xx=???? Y si no es molestia la cruzada

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¡Hola Matias!

Pues mal plan, si solo fuera la implícita primera es fácil pero la segunda se complica más.

Hay que derivar la expresión respecto a la variable x teniendo en cuenta que z también es función de x, luego cuando haga falta derivarla escribiré z'. En realidad debería escribir z_x, pero se ve muy mal el subíndice y confunde.

$$\begin{align}&8xz-3xy +ln(zy)=0\\&\\&8z+8xz'-3y + \frac{1}{zy}·yz'=0\\&\\&8z +8xz'-3y +\frac {z'}z=0\\&\\&\text{Ahora los términos con z' irán a la izquierda,}\\&\text{y los que no a la derecha.}\\&\\&8xz'+\frac{z'}{z}=3y-8z\\&\\&z'\left(8x+\frac 1z\right)=3y-8z\\&\\&z'=\frac{3y-8z}{8+\frac 1z} = \frac{3yz-8z^2}{8z+1}\\&\\&\text{Ahora derivamos esto}\\&\\&z''=\frac{(3yz'-16zz')(8z+1)-(3yz-8z^2)8z'}{(8z+1)^2}\\&\\&\text{Cuanto menos aparezca } z'\text{ mejor}\\&\\&z''=\frac{z'\bigg((3y-16z)(8z+1)-24yz +64z^2\bigg)}{(8z+1)^2}\\&\\&\text{Veo que se puede simplificar algo}\\&\\&z''=\frac{z'\bigg(24yz+3y-128z^2-16z-24yz+64z^2\bigg)}{(8z+1)^2}\\&\\&z''=\frac{z'(24yz+3y-64z^2-16z)}{(8z+1)^2}\\&\\&\text{Y sustituimos }z'\text { por el valor hallado antes}\\&\\&z''=\frac{\frac{3yz-8z^2}{8z+1}(24yz+3y-64z^2-16z)}{(8z+1)^2}\\&\\&\text{vamos a ponerle ya su nombre verdadero}\\&\\&z_{xx}=\frac{(3yz-8z^2)(24yz+3y-64z^2-16z)}{(8z+1)^3}\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva.

En la cruzada es más complicada todavía tiene que ir en otra pregunta.

Saludos.

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¡Gracias miles!!!

ya la otra parcial y la cruzada la veo de hacer yo cualquier duda te consulto 

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Saludos.

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Listo!

Más que excelente

No comprendí por que en el calculo de la primer derivada parcial de por en el renglón 6 al pasar el termino (8x+1/z) hacia la derecha abajo del (3y-8z) anulas la por dejando automáticamente (3y-8z)/(8+1/z).

Recién de cargue el ejercicio original donde aparecía esta función, por que por más que intento no llego a resolverlo se me complica con las derivadas segundas y cruzada esas zetas dando vuelta me desesperan!

Y tampoco entendí que valor darle a z para poder obtener un numero, solo se me ocurrió reemplazar en la función original los valores de (x;y) que me da y así obtener z que me daría 1 pero no se si esta bien eso

El editor de fórmulas va bastante mal, si escribes mucho se atasca y es imposible escribir más, por eso algunas veces hay qu simplificar algún paso si se está escribiendo mucho:

$$\begin{align}&z'\left(8x+\frac 1z\right)=3y-8z\\&\\&z'=\frac{3y-8z}{8+\frac 1z} =\frac{3y-8z}{\frac{8z+1}z}=\\&\\&\frac{z(3y-8z)}{8z+1} = \frac{3yz-8z^2}{8z+1}\end{align}$$

En la función

8xz-3xy+ln(zy)=0

No se puede despejar z, la única variable que se podría despejar es x.

Entonces si tu conoces los valores de x y y solo con un poco de suerte saldrá una ecuación donde se pueda calcular z, en el resto de los casos habrá que calcular z mediante una aproximación por métodos numericos o mediante el ordenador y software o páginas especializadas si te dejan. No me has dicho los valores de x, y para ver si lo habías hecho bien.

Y eso es todo, saludos.

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$$\begin{align}&\frac{\left(3yz-8z^2\right)}{8xz+1}\end{align}$$

No debería ser así?

si, lo de la z lo entendí que sumas las fracciones del denominador y pasas la z para arriba pero la letra equis del denominadores la que no comprendí por que la haces desaparecer

Fue un despiste gordo. Tal vez porque bastantes veces falla este teclado y como yo escribo mirando las teclas no me doy cuenta en muchas ocasiones

$$\begin{align}&8xz-3xy +ln(zy)=0\\&\\&8z+8xz'-3y + \frac{1}{zy}·yz'=0\\&\\&8z +8xz'-3y +\frac {z'}z=0\\&\\&\text{Ahora los términos con z' irán a la izquierda,}\\&\text{y los que no a la derecha.}\\&\\&8xz'+\frac{z'}{z}=3y-8z\\&\\&z'\left(8x+\frac 1z\right)=3y-8z\\&\\&z'=\frac{3y-8z}{8x+\frac 1z} = \frac{3yz-8z^2}{8xz+1}\\&\\&\text{Ahora derivamos esto}\\&\\&z''=\frac{(3yz'-16zz')(8xz+1)-(3yz-8z^2)8(z+xz')}{(8xz+1)^2}\\&\\&\text{Cuanto menos aparezca } z'\text{ mejor}\\&\\&z''=\frac{z'\bigg((3y-16z)(8xz+1)-24xyz +64xz^2\bigg)-24yz^2+64z^3}{(8xz+1)^2}\\&\\&\text{Veo que se puede simplificar algo}\\&\\&z''=\frac{z'\bigg(24xyz+3y-128xz^2-16z-24xyz+64xz^2\bigg)-24yz^2+64z^3}{(8xz+1)^2}\\&\\&z''=\frac{z'(3y-64xz^2-16z)-24yz^2+64z^3}{(8xz+1)^2}\\&\\&\text{Y sustituimos }z'\text { por el valor hallado antes}\\&\\&z''=\frac{\frac{3yz-8z^2}{8xz+1}(3y-64xz^2-16z)-24yz^2+64z^3}{(8xz+1)^2}=\\&\\&\frac{(3yz-8z^2)(3y-64xz^2-16z)+(8xz+1)(-24yz^2+64z^3)}{(8xz+1)^3}=\\&\\&\frac{9y^2z-192xyz^3-48yz^2-24yz^2+512xz^4+128z^3-192xyz^3+512xz^4-24yz^2+64z^3}{(8xz+1)^3}=\\&\\&\frac{9y^2z-384xyz^3-96yz^2+1024xz^4+192z^3}{(8xz+1)^3}\\&\\&\end{align}$$

Como puedes ver es una expresión muy complicada, no sé que pretenden hacer con este ejercicio.

Sa lu dos.

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