Cálculo de la siguiente ecuación

;)
Hola jorge!

Poniendo la definición del senhx:

$$\begin{align}&rx=sinhx\\&\\&rx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\&\\&2rx=e^x-\frac{1}{e^x}\\&\\&2rxe^x=e^{2x}-1\\&\\&e^{2x}-2rxe^x-1=0\end{align}$$

y esa combinación de exponencial y polinomio no se puede despejar en función de r.

Otra manera:

$$\begin{align}&rx=senhx \Rightarrow x=argsenh(rx)=ln [rx+ \sqrt{(rx)^2+1} ]\end{align}$$

imposible

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¡Hola Jorge!

No todas las ecuaciones se pueden resolver por métodos algebraícos. Y esta es una de ellas. Si necesitas saber la solución concreta para un valor especifico de r puedes usar WolframAlpha.

Pero alguna cosa siempre se puede saber.

1) La respuesta x=0 sirve para cualquier r

Veamos como es la derivada

y' = r - cosh(x)

El coseno hiperbólico es siempre mayor que 1, luego

2) Si r <=1 ==> y' <=0 ==> y siempre decreciente ==> (0,0) única respuesta.

Si r >1 la derivada tiene dos puntos simétricos respecto (0,0) donde se anula. Luego la función decrece hasta ese primer punto, crece hasta el segundo y decrece después. Cuando pasa por 0 está creciendo, luego antes ha tenido que bajar por debajo de cero y despues del 0 crecera y luego decrecerá, luego parasá otra vez por 0.

3)  Si r >1 la ecuación tiene tres respuestas, (0,0), (-a,0) (0,a). Son respuestas simétricas porque la función es impar.

Y ese valor de a es el que te digo que no se puede calcular salvo por métodos numéricos como por ejemplo el de Newton-Rapson o con programas de amtemáticas.

Y eso es todo, saludos.

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