Aplicación de integrales, aproximación de áreas.
Una lata de aluminio para bebidas gaseosas mide 2.54 cm de radio y 17.3 cm de alto, mientras el espesor de la lámina con que está hecha es de 0.74 mm. Si simultáneamente se provocara un error máximo en radio, altura y espesor del k% en cada magnitud:
a) ¿Cuánto varía en porcentaje el peso de la lata?
b) ¿Cuánto varía en porcentaje la cantidad de lámina empleada para construir la lata?
c) ¿Cuánto varía en porcentaje el volumen que puede contener la lata?
d) En cada caso ¿Qué magnitud al variar resulta la más crítica: la altura, el radio o el espesor de la lata?
e) ¿Qué valor tiene máximo puede tener k si ninguna de las magnitudes mencionadas en los incisos a, b y c, debe de modificar su valor más de un 1.5%?
1 respuesta
Veamos que sale... no se si llegaré a algo, pero creo que al menos te acerco a la solución.
$$\begin{align}&\text{Superficie de la lata}\\&S = 2\ sup\ base + lateral\\&S = (2 \pi r^2 + h 2 \pi r) = 2 \pi (r^2+hr)\\&\text{Material utilizado}\\&M = S \cdot e\\&M = 2 \pi e (r^2+hr)\\&a) \text{Para el peso, en realidad es M, por la densidad del aluminio, pero al ser una constante la podemos obviar}\\&Sea\\&M_2 = 2 \pi e(1+k\%) [(r(1+k\%))^2+h(1+k\%)r(1+k\%)]\\&Agrupando\\&M_2 = 2 \pi e(1+k\%) [r^2(1+k\%)^2+hr(1+k\%)^2]\\&M_2 = 2 \pi e(1+k\%)^3 [r^2 +hr ]\\&M_2 = M (1+k\%)^3\\&\\&\end{align}$$Respecto al punto b), calculo que se refiere al valor de S, y como vez queda multiplicada por el error "al cuadrado"
Solo que necesito trabajarla con ingrales, yo podría sacarlo sin integrales pero así no. Por favor ayudenme!
Vamos con la c)
$$\begin{align}&V= \pi r^2 h\\&V_2 = \pi (r(1+k\%))^2 h(1+k\%)\\&V_2 = \pi r^2(1+k\%)^2 h(1+k\%)\\&V_2 = \pi r^2h(1+k\%)^3\\&V_2 = V (1+k\%)^3\end{align}$$d) La variación más crítica se da en el radio pues está elevado al cuadrado