Anónimo
Como resolver este ejercicio de álgegra
¿Cuál de las siguientes expresiones representa una circunferencia? Determinar el centro y el radio justificando la respuesta.
a) x^2+y^2-10x+6y-15=0
b) x^2+y^2+2xy-15=0
3 respuestas
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¡Hola Yolanda!
La ecuación canónica de una circunferencia es de la forma
(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2
Donde (h, k) es el centro y R el radio.
Si mediante operaciones validas podemos llegar a esa forma será una circunferencia y si no no lo es.
$$\begin{align}&a) x^2 + y^2 -10x +6y -15=0\\&\\&\text{Juntamos los terminos en x y y, simplemente}\\&\text{para verlos mejor, no es obligatorio}\\&\\&x^2-10x + y^2+6y-15=0\\&\\&\text{Ahora completamos cuadrados sustituyendo}\\&\text{los dos términos por un binomio al cuadrado}\\&\text{menos lo que le sobra a este}\\&\\&(x-5)^2-25+(y-3)^2-9 -15=0\\&\\&\text{sumamos todos los términos independientes}\\&(x-5)^2+(y-3)^3-49=0\\&\\&\text{y lo pasamos al otro lado}\\&\\&(x-5)^2+(y-3)^2=49\\&\\&\text{y efectivamente se puede poner el lado derecho}\\&\text{como un cuadrado de algo por ser positivo}\\&\\&(x-5)^2+(y-3)^2 = 7^2\\&\\&\text{Luego es una circunferencia de centro}\\&(h,k) = (5, 3)\;\text{ y radio 7}\\&\\&\\&\\&b)\quad x^2+y^2+2xy - 15=0\\&\\&\text{No es una circunferencia}\\&\text{Si completas cuadrados te queda}\\&\\&(x+y)^2-y^2+y^2-15=0\\&\\&(x+y)^2 = 15\\&\\&x+y = \pm \sqrt {15}\\&\\&\text{lo cual es una pareja de rectas}\\&\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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La expresión general de la circunferencia es
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 donde
(a, b) es el centro de la circunferencia
r: Es el radio de la misma
a) x^2+y^2-10x+6y-15=0
Reagrupando
x^2 - 10x + y^2 + 6y - 15=0
(x-5)^2 - 25 + (y+3)^2 - 9 - 15 = 0
(x-5)^2 + (y+3)^2 - 49 = 0
(x-5)^2 + (y+3)^2 = 49
Por lo tanto es una circunferencia que tiene centro en (5,-3) y radio = 7
b) NO es una circunferencia (fijate que tiene el 2xy)
;)
Hola Yolanda!
Las ecuaciones de circunferencias son tipo:
$$\begin{align}&Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0\end{align}$$luego la segunda no es una circunferencia ya que tiene el término 2xy. Esta ecuación viene de desarrollar la expresión de la circunferencia de centro (a,b) y radio r :
$$\begin{align}&\\&(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\\&\\&x^2+y^2-10x+6y-15=0\\&Agrupando \ términos:\\&(x^2-10x)+(y^2+6y)=15\\&Completando \ cuadrados ( compensando \ el \ término \ independiente):\\&(x-5)^2-25+(y+3)^2-9=15\\&\\&(x-5)^2+(y+3)^2=49\\&\\&Centro :\\&(5,-3)\\&\\&radio:\\&7\end{align}$$saludos
;)
;)