Como resolver este ejercicio de forma cuadrática

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¡Hola Yolanda!

Ya sabes si tu llamas a las columnas x, y, z,... y a las filas x, y, z,... los coeficientes deben ir a su fila y columna de forma que los cuadrados van a la diagonal con todo el coeficiente y los no cuadrados van la mitad a un lado y la mitad al otro, quedando una matriz simétrica.

4 -3

-3 -1

Para clasificarla por el método de Lagrange compleamos cuadrados:

Q(x,y)=4x^2 - 6xy - y^2 =

lo más facil es completarlos en y

=4x^2 - (y^2+6x) =

4x^2 - [(y+3x)^2 - 9x^2] =

4x^2 - (y+3x)^2 + 9x^2 =

13x^2 - (y+3x)^2 =

Y ahora llamamos z=y+3x

13x^2 - z^2

Y es una forma cuadrática indefinida por tener un signo positivo y otro negativo.

Por el método de los menores es

M1 = 4

M2 = 4(-1) - (-3)(-3) = -4 - 9 = -13

Es indefinida por tener uno positivo y otro negativo.

Y los valores y vectores propios se calculan así

| 4-t  -3  |

| -3  -1-t | = 0

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(4-t)(-1-t) - 9 = 0

-4 -4t + t + t^2 - 9 = 0

t^2 - 3t - 13 = 0

$$\begin{align}&t= \frac{3\pm \sqrt{9+52}}{2}= \frac{3\pm \sqrt{61}}{2}\\&\\&t_1=\frac{3+ \sqrt{61}}{2}\\&\\&t_2=\frac{3- \sqrt{61}}{2}\\&\\&\text{esos son los valores propios}\\&\\&\text{Para calcular los vectores propios}\\&\\&4-\frac{3+ \sqrt{61}}{2}\qquad\qquad\quad -3\;\;\;\bigg|\quad0\\&-3\qquad\qquad -1-\frac{3+ \sqrt{61}}{2}\;\;\bigg| \quad 0\\&\\&\\&\frac{5- \sqrt{61}}{2}\qquad\qquad -3\quad\;\bigg|\quad0\\&-3\qquad\qquad  \frac{-5- \sqrt{61}}{2}\bigg| \quad 0\\&\\&\text{Sabemos que el determinante es 0,}\\&\text{puedes comprobarlo.  Por tanto sobra}\\&\text{una ecuación, y de la primera tenemos}\\&\\&y=\frac{5- \sqrt{61}}{6}\\&\\&v_1=\left(1,\frac{5- \sqrt{61}}{6}\right)\\&\\&\text{Y el segundo vector propio te lo dejo calcular}\\&\text{tiene que darte}\\&\\&v_2=\left(1,\frac{5+\sqrt{61}}{6}\right)\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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