Volumen de sección conocida entre dos curvas

Pues tengo el siguiente problema:

La base de un solido es la región R limitada por

$$\begin{align}&y=\sqrt{x}\end{align}$$

y

$$\begin{align}&y=x^2\end{align}$$

 Toda seccion transversal perpendicular al eje x es un semicirculo cuyo diametro se extiende a lo largo de R. Encuentre el volumen del solido.

En si mi duda va a como calcular el diámetro, pensé que sería simple restando f(x)-g(x), pero como este se extinde a lo largo de R ahí me patine...

Ayuda please!

1 respuesta

Respuesta
1

·

·

¡Hola Ángela, este es muy parecido al que te hice donde las secciones transversales eran cuadrados. Aquí son círculos y debes integra el área de ellos a lo largo del eje X. Para saber el área de un semicírculo calculas su radio y usas la fórmula

A=(pi·r^2)/2

Ya que es un semicírculo.

Y el radio es la mitad del diámetro, que es la diferencia de funciones.

Esas funciones son muy sencillas, tienes que llevarlas en la cabeza, además son inversas y por lo tanto simétricas respecto a la diagonal y=x

Y los punto de corte están bien claros son x=0  y  x=1

Entre 0 y 1 es la raíz la que está por encima.

$$\begin{align}&V=\int_0^1\pi\left(\frac{\sqrt x - x^2}{2}   \right)^2dx=\\&\\&\frac{\pi}{4}\int_0^1(x+x^4-2x^2 \sqrt x)dx=\\&\\&\frac{\pi}{4}\int_0^1(x+x^4-2x^{\frac 52})dx=\\&\\&\frac{\pi}{4}\left[ \frac{x^2}{2}+\frac{x^5}{5}-2·\frac{x^{\frac 72}}{\frac 72} \right]_0^1=\\&\\&\frac{\pi}{4}\left(\frac 12+\frac 15-\frac 47  \right)=\frac \pi 4·\frac{35+14-40}{70}=\frac{9\pi}{280}\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

:

:

Como siempre muchas gracias por ayudarme, solo una duda pequeña, el que dijera que el diámetro se extiende a lo largo de R me hizo pensar que va del origen a la intersección de las curvas y entonces pensé que no aplica a la diferencia de funciones para calcular el diámetro... Erre mucho? Que quiere decir esto?? 

Gracias y perdón por la molestia!

Otra duda... La diferencia de funciones es entre 2 y y el semicírculo es entre 2... falta un "entre 2" en la ecuación del área no? o yo estoy omitiendo algo?

Veo que tienes algo de lio.

Las dos funciones estas determinan una región entre x=0 y x=1 que es donde se cortan, los puntos de corte son (0,0) y (1,1)

Las secciones transversales perpendiculares al eje X cortan al plano de la base en una recta vertical del tipo x=k, y el segmento entre donde cortan a y=sqrt(x) y y=x^2 es el diámetro de un semicírculo que se expande hacia arriba como una cúpula, esta cúpula es más alta o menos dependiendo de ese diámetro. Integrando el área de todos esos semicírculos entre 0 y 1 se obtiene el volumen.

:

:

¡Gracias! La verdad si!

Estaba bastante confundida! Este tema me tomo algo de trabajo, llevo una semana tratándolo de entender! Y creo que por fin lo logre!

Muchísimas gracias!

Añade tu respuesta

Haz clic para o

Más respuestas relacionadas