Calcular el volumen de la región limitada por el cilindro de la ecuación

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¡Hola Lupita!

Veamos cuál es la base del cilindro

x^2 + y^2 - 2y = 0

x^2 + (y-1)^2 -1 = 0

Es un círculo de radio 1 con centro en (0,1)

Veamos si el plano

z=3-x corta al círculo o se mantiene siempre encima

0=3-x

x=3

La recta x=3 esta fúera del circulo ya que esté toma valores x en [-1,1]

Luego podemos hacerlo todo con una integral. Pero antes debemos conocer la expresión de x en función de y o viceversa

$$\begin{align}&x=\pm \sqrt{2y-y^2}\\&\\&\text{Ya vimos que era un círculo de radio 1 con centro en}\\&\text{(0,1), luego y varía en [0,2]}\\&\\&V=\int_{0}^2\int _{-\sqrt{2y-y^2}}^{\sqrt{2y-y^2}}\int_0^{3-x}dz\,dx\;dy=\\&\\&\int_{0}^2\int _{-\sqrt{2y-y^2}}^{\sqrt{2y-y^2}}(3-x)dx\,dy=\\&\\&\int_{0}^2 \left[3x-\frac{x^2}2\right] _{-\sqrt{2y-y^2}}^{\sqrt{2y-y^2}}dy\\&\\&\int_0^2\left(3 \sqrt{2y-y^2}-\frac{2y-y^2}{2}+3 \sqrt{2y-y^2}+ \frac{2y-y^2}{2}   \right)dy=\\&\\&6\int_0^2 \sqrt{2y-y^2}dy=6\int_0^2 \sqrt{-(y-1)^2+1}dy=\\&\\&y-1=sen\,t\\&dy=\cos t\;dt\\&y=0\implies t=arc sen(-1)=-\frac \pi 2\\&y=2 \implies t= arc sen \;1=\frac \pi 2\\&\\&=6\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{-sen^2t+1}\;cost\;dt=\\&\\&6\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2t \;dt=6\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(\frac 12+\frac{\cos 2t}2\right)dt=\\&\\&6\left[\frac x2+\frac{\cos 2t}{4}  \right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\\&\\&6\left(\frac \pi 4-\frac 14+\frac  \pi 4+\frac 14  \right)=\frac{6\pi}{2}=3\pi\\&\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo,  s a l u d os.

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