¿Cómo puedo resolver este ejercicio de subespacio vectorial?

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¡Hola Yolanda!

El espacio vectorial que generan es el de todas las combinaciones lineales que se pueden forma con ellos. Lo que se hace es en vez de tomar esos vectores tomar otros más sencillos que generan el mismo espacio. Y otros más sencillos son los que se obtienen con las típicas operaciones de fila, procurando hacer el mayor número de ceros tanto por debajo como por arriba de la diagonal.

1   2  -1  1

2  -1   1  0

0   5  -3  2

la primera multiplicada por (-2) se suma a la segunda

1   2  -1   1

0  -5   3  -2

0   5  -3   2

la segunda se suma a la tercera

1   2   -1   1

0 -5 3 -2

0 0 0 0

La segunda multiplicada por 1/2 se suma a la primera

1  -1/2  1/2   0

0 -5 3 -2

0 0 0 0

Y para dejarlo más bonito, la primera se multiplica por 2 y la segunda por (-1)

2  -1   1   0

0  5   -3   2

0  0    0   0

Luego es el espacio generado por estos dos vectores

(2, -1, 1, 0)  y (0, 5, -3, 2)

y es

a(2,-1,1,0) + b(0,5,-3,2) = (2a, -a+5b, a-3b, 2b)

S={(2a, -a+5b, a-3b, 2b) | a, b de R}

----------------

Otra forma de expresarlo sería relacionando entre si las coordenadas (x, y, z, t), por ejemplo, la segunda es

y=-a+5b

si la multiplicamos por 2 tendremos

2y = -2a +10b

pero

-2a = -x

10b = 5t

luego

2y=-x+5t

x+2y-5t=0

Y la otra relación surge de

2z= 2a-6b = x - 3t  ==>  x - 2z - 3t = 0

Con lo cual el espacio queda así:

S={(x,y,z,t) | x+2y-5t=0;  x-2z-3t=0; x,y,z,t de R}

Y eso es todo.