En los siguientes ejercicios , escribir la ecuacion dada en coordenadas cilindricas
Alguien por favor me podriaayudar con estos ejercicios muchas gracias. En los siguientes ejercicios, escribir la ecuacion dada 3n coordenadas cilindricas
a) (x^2)+(y^2)=16
b) (x-2)^2+(y^2)=4
2 Respuestas
Respuesta de Lucas m
1
;)
Hola Camila Diosa!
Las coordenadas cilíndricas se usan para puntos en el espacio.
En tu caso son puntos de un plano con lo cual z, puede ser cualquiera.
Coordenadas cilíndricas:
$$\begin{align}&x=\rho \cos \varphi\\&y= \rho sen \varphi\\&z=z\\&\\&a)x^2+y^2=16\\&(\rho \cos \varphi)^2+( \rho sen \varphi)^2=16\\&\\&\rho^2cos^2\varphi+ \rho^2sen^2 \varphi=16\\&\\&\rho^2(\cos^2 \varphi+sen^2 \varphi)=16\\& \rho^2=16\\&\\&\rho=4\\&\\&\\&b)\\&(x-2)^2+y^2=4\\&(\rho \cos \varphi -2)^2+(\rho sen \varphi)^2=4\\&\\&\rho^2cos^2 \varphi-4 \rho \cos \varphi+4+ \rho^2sen^2 \varphi=4\\&\\&\rho^2(\cos^2 \varphi+sen^2\varphi)-4 \rho \cos \varphi=0\\&\rho^2-4 \rho \cos \varphi=0\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
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¡Hola Camila!
Las coordenadas cilíndricas son el radio vector rho, es la distancia al punto (0,0)
El ángulo phi que forma la proyección del radio vector sobre el plano z=0 con el eje OX+.
La distancia del punto al plano z=0 que es z
Entonces dado un punto (x, y, z) en cartesianas se cumplen estas relaciones:
$$\begin{align}&x=\rho \cos \varphi\\&y=\rho sen\; \varphi\\&z=z\\&\\&\text{Con lo cual las ecuaciones se transforman así.:}\\&\\&a) x^2+y^2=16\\&\\&(\rho \cos \varphi)^2+(\rho\;sen\;\varphi)^2=16\\&\\&\rho^2cos^2\varphi+\rho^2 sen^2 \varphi=16\\&\\&\rho^2(\cos^2\varphi+sen^2\varphi)=16\\&\\&\rho^2=16\\&\\&\text{Como }\rho\ge 0\\&\\&\rho=4\\&\\&-----------------\\&\\&b) (x-2)^2+y^2=4\\&\\&(\rho \cos \varphi-2)^2+(\rho \;sen\;\varphi)^2=4\\&\\&\rho^2 \cos^2\varphi-4\rho\,\cos \varphi+4 +\rho^2sen^2\varphi = 4\\&\\&\rho^2(\cos^2\varphi+sen^2\varphi)-4\rho\,\cos\varphi=0\\&\\&\rho^2-4\rho \,\cos\varphi=0\\&\\&\rho(\rho-4cos \varphi) =0\\&\\&\text{Lo cual es la unión de estas dos curvas}\\&\\&\rho=0 \quad \text{que es solo el punto origen}\\&\rho=4cos \varphi\\&\\&\text{Pero para }x= \frac{\pi}{2} \text{ ya tenemos}\\&\\&\rho=4 \cos \frac{\pi}{2}=4·0=0\\&\\&\text{Luego lo podemos poner como una curvá única}\\&\\&\rho=4 \cos \varphi\\&\\&\\&\end{align}$$:
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