¿Cuál es la solución a estos problemas de razonamiento matemático?

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¡Hola Stronge!

111.. 11 4n cifras es la suma

1+10+100+1000+    10^(4n-1)

Es la suma de una sucesión geométrica cuyo valor es

$$\begin{align}&S_n=a_1 \frac{r^n-1}{r-1}\\&\\&\text{aplicado a la que tenemos es}\\&\\&S_{4n}=1·\frac{10^{4n}-1}{10-1}= \frac{10^{4n}-1}{9}\\&\\&\text {Y la de los doses es}\\&\\&222...2  \qquad\text{2n veces}  =\\&\\&2·111...1   \qquad 2n\; veces=\\&\\&2·\frac{10^{2n}-1}{9}\\&\\&\text{La resta es}\\&\\& \frac{10^{4n}-1}{9}-2·\frac{10^{2n}-1}{9}=\frac{10^{4n}-2·10^{2n}+1}{9}=\\&\\&\frac{(10^{2n}-1)^2}{3^2}\\&\\&\text{Por lo tanto su raíz cuadrada es}\\&\\&\frac{10^{2n}-1}{3}\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, se contesta un solo ejercicio por pregunta salvo que sean muy sencillos.  Si quieres el otro debes mandar otra prgunta.

Salu_dos.

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¿Y cual seria la suma de sus cifras?

¡Ah, ya no me acordaba de lo que pedían!

El resultado será

n=1 ---->(100-1)/3  = 99 / 3 = 33

n=2 ---->(10000-1)/3 = 9999/3 = 3333

n ---->(10^(2n) - 1)/3 = 999....99 / 3 = 333...33  siendo 2n cifras

Es decír son 2n treses, luego la suma de las cifras es:

S = 2n · 3  = 6n

Habia otra forma mas rapida para llegar a 6n pero igual muchas gracias por tu tiempo

¡Hombre, pues si hay una forma más rápida di cual es! A veces la velocidad depende de las cosas que se dan por sabidas, yo no quiero abusar de ellas porque no sé si vosotros las sabréis.

Ahorita te la paso..

esta seria la otra forma de hacer http://letrasapropiadas.blogspot.pe/2016/04/razonamiento-matematico.html 

No veo ni el razonamiento ni la demostración, no sale prácticamente nada salvo la respuesta.