¿Me Colaboran con el con el ejercicio 2 de 4. Calculo diferencial?

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¡Hola Angie!

Es una indeterminación del tipo

$$\begin{align}&1^{\infty}\\&\\&\lim_{x\to 3}(7-2x)^{\frac{7}{x-3}}=(7-6)^{\frac{7}{3-3}}=1^{\frac{7}{0}}=1^{\infty}\\&\\&\text{Se solucionan con el número e sabiendo que}\\&\\&\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac 1h}=e\\&\\&\text{que es mas útil si lo pones así}\\&\\&\lim_{u(x)\to 0} (1+u(x))^{\frac 1{u(x)}}=e\\&\\&\text{luego debemos intentar extraer algo sasí en el límite}\\&\\&\lim_{x\to 3}(7-2x)^{\frac{7}{x-3}}=\lim_{x\to 3}(1+(6-2x))^{\frac{7}{x-3}}=\\&\\&\text{Como vemos si }u(x)=6-2x\text{ entonces}\\&Si\;x\to 3\implies u(x)\to 0\\&\text{Ahora en el exponente multiplicamos y dividimos por }u(x)\\&\\&\lim_{x\to 3}(1+(6-2x))^{\frac 1{6-2x}·\frac{7}{x-3}·(6-2x)}=\\&\\&\text{Y por propiedades de las exponenciales es esto}\\&\\&\lim_{x\to 3}\left(\left((1+(6-2x))^{\frac 1{6-2x}}\right)^{\frac{7}{x-3}·(6-2x)}\right)=\\&\\&\text{Por propiedades de los límites}\\&\\&\lim_{x\to 3}\left((1+(6-2x))^{\frac 1{6-2x}}\right)^{\lim_{x\to 3}\frac{7(6-2x)}{x-3}}=\\&\\&\text{La base es el número e}\\&\\&e^{\lim_{x\to 3}\frac{7(6-2x)}{x-3}}=\\&\\&\text{El exponente es 0/0 pero se soluciona enseguida}\\&\\&e^{\lim_{x\to 3}\frac{14(3-x)}{x-3}}= e^{lim_{x\to 3}(-14)}= e^{-14}\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Si no es así preguntame.  Y si ya está bien, no olvides puntuar las respuestas que lo merezcan.

Saludos.

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Hola Angi!
Si los límites te tienden a enredar, los del número e (indeterminación 1^(infinito)), aún más.

Estos límites se pueden hacer de dos maneras:

1) Con la definición del número e: con lo cual hay que construirlo ( Así te lo hará el profesor Valero)

2) Con una fórmula que te lo calcula directamente. Como yo siempre la he usado, te lo hago así, (vigila como te lo han hecho en clase):

$$\begin{align}&\lim_{x\to 3} (7-2x)^{\frac{7}{x-3}}=(7-2·3)^{\frac{7}{3-3}}=1^{\infty}=e^{\lambda}\\&\\&Fórmula\\&\\&\lim_{x \to a}f^g=1^{\infty}=e^{\lambda}\\&\\&\lambda=\lim_{x \to a} (f-1)q\\&\\&\lambda=\lim_{x \to 3}(f-1)g=\lim_{x \to 3}(7-2x-1)\frac{7}{x-3}=\\&\\&=\lim_{x \to 3}(6-2x) \frac{7}{x-3}=\lim_{x \to 3}\frac{(6-2x)7}{x-3}=\frac{0}{0}=simplificando=\\&\\&\lim_{x \to 3}\frac{2(3-x)7}{x-3}=\lim_{x \to 3}2(-1)7=-14\\&\\&Luego:\\&\lim_{x\to 3} (7-2x)^{\frac{7}{x-3}}=(7-2·3)^{\frac{7}{3-3}}=1^{\infty}=e^{\lambda}=e^{-14}\end{align}$$

saludos

;)

;)