Encuentra los puntos críticos, los intervalos en donde f es creciente o decreciente y construye la gráfica
Encuentra dentro de la siguiente ecuación los puntos críticos, así como también los intervalos en donde f es creciente o decreciente y construir la gráfica. La función es la siguiente:
$$\begin{align}& f(x)=x^2/(x^2-4)\end{align}$$
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¡Hola Ana Belén!
Hallaremos los puntos críticos igualando a cero la derivada de la función.
$$\begin{align}&f(x)=\frac{x^2}{x^2-4}\\&\\&f'(x)= \frac{2x(x^2-4)-2x^3}{(x^2-4)^2}=\frac{-8x}{(x^2-4)^2}=0\\&\\&Luego\; x=0\\&\\&\text{Quedan dos intervalos donde la derivada tiene el}\\&\text{el mismo signo, luego tomando un punto interno de}\\&\text{cada uno lo sabremos}\\&(-\infty,0)\quad f(-1)=\frac{8}{9}\gt 0\implies creciente\\&\\&(0,\infty)\quad f(1)=-\frac{8}{9}\lt 0 \implies decreciente\end{align}$$Y esta vez nos vamos a ahorrar el criterio de la derivada segunda para saber si es máximo o mínimo. En el cero la función es derivable y continua. Antes es creciente y después decreciente, luego es un máximo relativo y es el punto (0,0)
Y otras cossa que harán falta para la gráfica son que
Hay asíntotas verticales en x=-2 y x=2 porque el denomindor se hace 0
Hay una asíntota horizontal en x=1 por los dos lados, porque ese es el límite de la función en -infinito y + infinito
Y con estas cosas la gráfica es esta:
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1 respuesta más de otro experto
Estimada Ana: En los siguientes enlaces podrías encontrar la fórmula de resolverlo:
https://www.youtube.com/watch?v=MfS5cEDhovc
http://cursodecalculo.com/2013/11/26/ejercicios-resueltos-de-maximos-y-minimos/
http://www.vicentegonzalezvalle.es/documentos/11_Aplicaciones_de_las_derivadas.pdf