Ecuaciones diferenciales encontrar la solución general mencionando el método utilizado 1/3

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¡Hola Mauricio!

No parece de las ecuaciones habituales, veamos si es una diferencial exacta o susceptible de integrar con factor integrante.

$$\begin{align}&\text{La forma canónica es}\\&Mdx+Ndy=0\\&\\&\text{Es exacta si}\\&M_y=N_x\\&\\&(cosx\;cosy- ctgx)dx-senx\,seny \;dy=0\\&\\&M_y=-cosx\,seny\\&N_x=-cosx\;seny\\&\\&\text{Sí, es exacta, la solución será}\\&u(x,y)=c\\&\\&\text{Para calcular u elegimos la parte más fácil de}\\&\text{integrar integrar entre } Mdx\; y\; Ndy, \;es\; Ndy\\&\\&u(x,y)=\int -senx\,seny\; dy=senx\,coxy+\varphi(x)\\&\\&\text{Hemos puesto como constante de integración toda}\\&\text{una función de x}\\&\\&\text{Ahora al derivar u respecto de x debe dar M}\\&\\&\frac{\partial u}{\partial x}=M\\&\\&cosx\,cosy+\varphi'(x)=cosx\;cosy- ctgx\\&\\&\varphi'(x)=- ctgx\\&\\&\text{integramos para calcular }\varphi(x)\\&\\&\varphi(x)=\int-ctgx\; dx=\int-\frac{cosx}{senx}dx=-ln(senx)\\&\\&\text{poner el valor absoluto de senx nos estorbará}\\&\\&\text{Y sustituyendo en u ya lo tenemos}\\&\\&u(x,y)=senx\,coxy-ln(senx)=C\\&\\&\text {Elegimos una consante mejor}\\&\\&senx\,coxy-ln(senx)=ln\,C\\&\\&senx\;cosy = ln\,C+ln(senx)\\&\\&senx\;cosy = ln(Csenx)\\&\\&\text{Ahora ya devolvemos lo del valor absoluto}\\&\\&cosy =\frac{ln|Csenx|}{senx}\\&\\&y =arcos\left( \frac{ln|Csenx|}{senx} \right)\end{align}$$

Que es la misma respuesta de Lucas, pero yo le tengo alergia a las cotangentes, secantes y cosecantes.

Y eso es todo, saludos.

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Hola Mauricio!
Veamos si es diferencial exacta:

$$\begin{align}&M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\\&es \ diferencial \ exacta \ \ si \ \ las  \ derivadas  \ parciales \son\ iguales:\\&M_y= \frac{\partial M}{\partial y}\\&M_y=N_x\\&\\&(cosxcosy - cotx)dx-sinxsinydy=0\\&M=cosxcosy-cotx\\&\\&M_y=-cosxsiny\\&\\&N_x=-cosxsiny\\&Es \ diferencial \ exacta:\\&Luego \ la \ ED \ es \ tipo:\\&\\&\frac{\partial F}{\partial x}dx+ \frac{\partial F}{\partial y}dy=0 \Rightarrow F(x,y)=C\\&\\&donde\\&N= \frac{\partial F}{\partial y}=-sinxsiny\\&Integrndo \ respecto \ y:\\&F(x,y)=\int -sinxsinydy + h(x)=sinxcosy+h(x)\\&\\&derivando \ respecto  \ x:\\&\\&\frac{\partial F}{\partial x}=M=cosxcosy+h'(x)\\&igualando\\&M=cosxcosy-cotx\\&\\&cosxcosy-cotx=cosxcosy+h'(x) \Rightarrow h'(x)=-cotx\\&\\&h(x)= \int -cotx dx=ln|sinx|+c\\&\\&Luego\\& F(x,y)=sinxcosy+ln|sinx|+c=C\\&\\&sinxcosy+ln|sinx|=C\\&que \ se \ puede \ despejar \ (si \ quieres)\\&\\&cosy=cscx \Big(C-ln|sinx| \Big)\\&\\&y=arccos\Bigg(cscx \Big(C-ln|sinx| \Big) \Bigg)\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Saludos

;)

;)