Quiero saber como resolver la ecuación diferencial

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¡Hola Anónimo!

Cuando el valor k de C·e^(kx) es una de las raíces de la ecuación característica no se puede tomar

A·e^(Kx) como función de prueba ya que te da una igualdad

0 = C·e^(kx)

A Lucas no le ha dado porque ha cometido un error, donde ha puesto 56 debía haber puesto 14

En estos casos debes probar con una función

Axe^(2x)

Y entonces sí que podrás calcular el valor de A.

Pruébalo tú si quieres, si no te sale me lo dices.

Saludos.

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Hola Anónimo!

Comprobando :

$$\begin{align}&m^2+5m-14=0\\&\\&m=\frac{-5 \pm \sqrt {5^2-4(-14)}}{2}= \frac{-5 \pm \sqrt {81}}{2}=\\&\\&m_1=-7\\&m_2=2\end{align}$$

correcto.

La solución general es la suma de la solución de la homogénea más una solución particular.

La solución de la homogénea, para raíces reales diferentes es del tipo :

$$\begin{align}&y_H=C_1e^{m_1x}+C_2e^{m_2x}\\&\\&y_H=C_1e^{-7x}+C_2e^{2x}\\&\\&\end{align}$$

La solución de la particular, en principio es del mismo tipo:

y

$$\begin{align}&y_P=Ae^{2x}\\&y'=2Ae^{2x}\\&y''=4Ae^{2x}\\&\\&sustituyendo \ en ED:\\&y''+5y'-14y=3e^{2x}\\&\\&4Ae^{2x}+10Ae^{2x}-56Ae^{2x}=3 e^{2x}\\&\\&-42Ae^{2x}=3e^{2x}\\&\\&A=\frac{3}{-42}\\&\\&solución\ general:\\&y_G=y_H+y_P\\&\\&y_G=C_1e^{-7x}+C_2e^{2x}-\frac{3}{42}e^{2x}\end{align}$$

saludos

;)

;)