Como calcular la ecuación de la trayectoria de x=8t^2; y=t^3+5

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¡Hola Soccgy01!

Claro, al despejar t obtendrás una igualdad entre una función de x y otra de y.

$$\begin{align}&x=8t^2  \implies t^2=\frac x8\implies t=\pm \sqrt{\frac{x}{8}}\\&\\&\text{ojo, debe ser }x\ge 0\\&\\&y=t^3+5\implies t^3=y-5\implies t=\sqrt[3]{y-5}\\&\\&\text{igualamos}\\&\\&\pm \sqrt{\frac{x}{8}}= \sqrt[3]{y-5}\\&\\&\text{Podemos unificar las dos ramas elevando al cuadrado}\\&\\&\frac x8=\sqrt[3]{(y-5)^2}\\&\\&\text{Yo lo dejaría mejor así}\\&\\&\frac{x^3}{512}= (y-5)^2\\&\\&\text{Y si lo quieren como }\quad y=f(x)\\&\\&y=5\pm \sqrt{\frac{x^3}{512}}\\&\\&y=5\pm \frac{x \sqrt x}{16 \sqrt 2}\\&\\&y=5\pm \frac{x \sqrt {2x}}{32}\end{align}$$

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Hola soccgy01!

Despejando el tiempo e igualando:

$$\begin{align}&x=8t^2\\&\\&t^2=\frac{x}{8}\\&t=\pm \sqrt {\frac{x}{8}}\\&\\&y=t^3+5\\&t^3=y-5\\&\\&t=\sqrt[3]{y-5}\\&\\&\sqrt[3]{y-5}=\pm \sqrt {\frac{x}{8}}\\&\\&Elevando \ al \ cubo:\\&y-5=\Bigg [\pm \sqrt {\frac{x}{8}} \Bigg]^3=\pm \sqrt{\frac{x^3}{(2^3)^3}}=\pm \frac{x \sqrt x}{\sqrt{2^9}}=\pm \frac{x \sqrt x}{2^4 \sqrt 2}\\&\\&y=5\pm \frac{x \sqrt x}{2^4 \sqrt 2}\\&\\&y=5\pm \frac{x \sqrt x}{16 \sqrt 2}\end{align}$$

Saludos

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