Cuando se graban programas en vivo, es frecuente que los ingenieros de sonido utilicen un micrófono con fonocaptor enforma de...
Pregunta de aplicación para hallar área bajo la curva de una coordenada polar
Cuando se graban programas en vivo, es frecuente que los ingenieros de sonido utilicen un micrófono con fonocaptor en forma de cardioide porque suprime ruido de la audiencia. Su-
Ponga que el micrófono se coloca a 4 m del frente del escena-
Rio (como en la figura) y la frontera de la región de captación
óptima está dada por el cardioide r = 8 + 8 sen u, donde r se
mide en metros y el micrófono está en la pértiga. Los músicos
desean conocer el área que tendrán en el escenario dentro del
campo óptimo de captación del micrófono.
1 Respuesta
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¡Hola Duvan!
Pasemos a polar la ecuación de la recta y=4 para hallar las coordenadas polares de los puntos de intersección.
Se cumple que
r·senu = 4
r = 4/senu
Y el punto de intersección es
$$\begin{align}&8+8 sen\,u=\frac 4{sen \,u}\\&\\&8sen\,u+8sen^2u = 4\\&\\&2 sen^2u + 2senu-1=0\\&\\&senu=\frac{-2\pm \sqrt{4+8}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt 3}{2}\\&\\&\text{Tomamos el positivo}\\&\\&sen\,u= \frac{-1+\sqrt 3}{2}\\&\\&u= arcsen\left( \frac{-1+\sqrt 3}{2}\right)\\&\\&\text{Por simetria calculamos el areá entre ese ángulo y}\\&\frac{\pi}{2}\text{ del cardiode menos la recta y lo multiplicamos por 2 }\\&\\&A=2·\left(\frac 12\int_{arcsen\left( \frac{-1+\sqrt 3}{2}\right)}^{\frac{\pi}{2}} \left((8+8sen\,u)^2 -\left( \frac{4}{sen\,u} \right)^2 \right)du\right)=\\&\\&\int_{arcsen\left( \frac{-1+\sqrt 3}{2}\right)}^{\frac{\pi}{2}} \left(64+128 sen u+64sen^2\,u- \frac{16}{sen^2\,u} \right)du=\\&\\&\bigg[64u-128cosu+16\,ctg\,u \bigg]_{arcsen\left( \frac{-1+\sqrt 3}{2}\right)}^{\frac{\pi}{2}}+\\&\\&64\int_{arcsen\left( \frac{-1+\sqrt 3}{2}\right)}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac 12-\frac {\cos 2u}{2} \right)=\\&\\&\bigg[64u-128cosu+16\,ctg\,u+32u-16sen\,2u \bigg]_{arcsen\left( \frac{-1+\sqrt 3}{2}\right)}^{\frac{\pi}{2}}=\\&\\&48\pi-96 arcsen\left( \frac{-1+\sqrt 3}{2}\right)+128 \sqrt{1-\left( \frac{-1+\sqrt 3}{2} \right)^2}\\&\\&-16 \frac{\sqrt{1-\left( \frac{-1+\sqrt 3}{2} \right)^2}}{\frac{-1+\sqrt 3}{2}}-32 \left(\frac{-1+\sqrt 3}{2}\right)\sqrt{1-\left( \frac{-1+\sqrt 3}{2} \right)^2}\\&\end{align}$$Yo no voy a simplificar y calcular esa expresión por supuesto. Así que vamos a hacer lo de calcular el ángulo y así usaremos calculadora y daremos la respuesta aproximada.
$$\begin{align}& arcsen\left( \frac{-1+\sqrt 3}{2}\right)= 0.3747344327\\&\\&\\&\bigg[96u-128cosu+16\,ctg\,u-16sen\,2u \bigg]_{0.3747344327}^{\frac{\pi}{2}}\\&\\&48\pi-96·0.3747344327+128·0.9306048591-\\&16·2.542459757+16·0.6812500386=\\&\\&48\pi-35.97450554+119.117422-\\&40.67935611+10.90000062=\\&\\&48\pi+49.2760607=204.1600083m^2\end{align}$$:
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