Problema 3:Progresiones y sucesiones,Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro, mañana 2 monedas, pasad

Vemos que cada las monedas que tendrá cada día, serán:

2^n

Suponiendo que "hoy" es el día cero, mañana el día 1, etc

Y se sabe que la suma de estos términos es 2^(n+1) - 1 ya que

n=0...ese día junto 2^0= 1, y acumulo 2^(0+1) - 1 = 2 - 1 = 1 moneda

n=1...ese día junto 2^1= 2, y acumulo 2^(1+1) - 1 = 4 - 1 = 3 monedas

n=2...ese día junto 2^2= 4, y acumulo 2^(2+1) - 1 = 8 - 1 = 7 monedas

Etc

Ahora vamos a responder las preguntas, comenzando con las últimas 2 que son teóricas

c) La serie es geométrica

d) La progresión, es claramente creciente ya que cada término es mayor al anterior

Ahora vamos a resolver los otros puntos

$$\begin{align}&a) Z Kg \ge (2^{n+1}-1) monedas \cdot 2 g/moneda \cdot \frac{1 Kg}{1000g}\\&Resolviendo...\\&1000 Z \ge 2^{n+2}-2\\&1000 Z+2 \ge 2^{n+2}\\&\text{Hasta acá podemos avanzar \sin tener el valor de Z}\\&\text{Como casi seguro este valor no dará exacto, debemos tomar el n más chico, ya que con el siguiente valor de n se sobrepasará la capacidad}\\&b) \text{ Para saber cuantos días deben pasar, aplicamos logaritmos (en cualquier base)}\\&1000 Z+2 \ge 2^{n+2}\\&log(1000 Z+2) \ge log(2^{n+2})\\&log(1000 Z+2) \ge (n+2) log(2)\\&\frac{log(1000 Z+2)}{log(2)} \ge (n+2)\\&\frac{log(1000 Z+2)}{log(2)} - 2 \ge n\\&\text{Nuevamente, necesitamos el valor de Z}\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Por favor

Problema 3: Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro, mañana 2 monedas, pasado mañana 4 monedas y así sucesivamente, cada día puedes tomar el doble de monedas de las que tomaste el día anterior hasta que llenes esta mochila con las monedas que día a día irás depositando" y le entregó dicha mochila. Suponiendo que cada moneda de oro pesa 2 gramos y que la mochila tiene una capacidad máxima de carga de (319) kg. Responda las siguientes preguntas.

z=319

Primero vamos a ver cuántas monedas caben en la mochila

319 kg = 319000 g

como cada moneda pesa 2 g caben

319000/2 = 159500 monedas

El termino general de la sucesión de las monedas que recoge diariamente es:

$$\begin{align}&a_n=a_1·r^{n-1}\\&\\&a_n=1·2^{n-1} = 2^{n-1}\\&\\&\text{La fórmula de la suma es}\\&\\&S_n=a_1·\frac{r^n-1}{r-1}\\&\\&S_n = 1·\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1\\&\\&\text{haremos}\\&\\&2^n-1 \le 159500\\&\\&2^n\le 159501\\&\\&\text{tomamos logaritmos neperianos}\\&\\&ln(2^n)\le ln\,159501\\&\\&n·ln\,2\le ln\,159501\\&\\&n\le \frac{ln \,159501}{ln\,2}=17,283206\end{align}$$

Entonces ahora todo depende de la interpretación que no está muy clara.

Hasta el día 17 ha obtenido

2^(17) - 1 = 131071 monedas

Si no le dejan más ha obtendio 131071 monedas en 17 días

Si le dejan volver el día 18 a recoger hasta completar la mochila obtendrá 159500 en 18 días

Es una progresión geométrica, cada término es el el doble del anterior.

Y es creciente por ser la razón positiva y mayor de 1.

Y eso es todo, saludos.

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