Resolver la siguiente integral aplicando las propiedades de las integrales indefinidas

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Hola oscar!

Primero hemos de calcular el numerador (a+b)^2=a^2+b^2+2ab

Luego escribir el radical en forma de potencia y dividir cada término aplicando

a

$$\begin{align}&\frac{x^n}{x^p}=x^{n-p}\\&\\&y\\&luego \ aplicar\\&\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\\&\\&\int \frac{1+9x^2+6x}{x^{\frac{1}{3}}}dx=\int x^{\frac{-1}{3}}dx+9 \int x^{\frac{5}{3}}dx + \int x^{\frac{2}{3}}dx=\\&\\&=\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}+9 \frac{x^{\frac{8}{3}}}{\frac{8}{3}}+\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}+C=\\&\\&=\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}+\frac{27}{8} x^{\frac{8}{3}}+\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} +C\end{align}$$

Saludos

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¡Hola Oscar!

Es muy sencillo, desarrollaremos el paréntesis y haremos tres integrales con notación exponencial de los radicales y la fórmula que for fuerza tienes que conocer.

$$\begin{align}&\int \frac{(1+3x)^2}{\sqrt[3]x}dx=\int \frac{1+6x+9x^2}{x^{\frac 13}}dx=\\&\\&\int x^{-\frac 13}dx+\int6x^{\left(1-\frac 13\right)}dx+\int9x^{\left(2-\frac 13  \right)}dx=\\&\\&\int x^{-\frac 13}dx+6 \int x^{\frac 23}dx+9\int x^{\frac 53}dx=\\&\\&\frac{x^{\frac 23}}{\frac 23}+6·\frac{x^{\frac 53}}{\frac 53}+9 \frac{x^{\frac 83}}{\frac 83}+C=\\&\\&\frac 32x^{\frac 23}+\frac{18}5x^{\frac 53}+\frac{27}{8}x^{\frac 83}+C\\&\end{align}$$

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