Polinomios. Sabiendo que Px=x^4+9x^2-10x+d. Se pide:

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Hola Annie.

a) Se puede hacer de dos maneras

i) Aplicando el Teorema del Resto que dice que si P(x) es divisible por (x-1), entonces P(1)=0

P(1)=1+9-10+d=d

P(1)=0 ===>  d=0

ii) haciendo la división por Ruffini e igualando el resto a  0

             1            9            -10             d

1

_______________1________10_______0______

             1         10                0             d=0

b) Para simplificar hay que factorizar los polinomios. Al factorizar, antes de buscar las raíces por Ruffini o por lafórmula (en los de 2º grado), hay que sacar factor común si se puede. En tu caso tanto en el numerador como en el denominador se puede sacarf factor común a x:

$$\begin{align}&\frac{x^4+9x^2-10x}{x^3-3x^2+2x}=\frac{x(x^3+9x-10)}{x(x^2-3x+2)}=\\&simplificando \ x\\&=\frac{x^3+9x-10}{x^2-3x+2}=\\&Factorizando\\&\\&x^2-3x+2=0\\&\\&x=\frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}=\\&x_1=\frac{3+1}{2}=2\\&x_2=\frac{3-1}{2}=1\end{align}$$

el numerador se factoriza por Ruffini:

            1           0          9           -10

1

______________1______1________10____

           1            1          10           0

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¡Hola Annie!

Si es múlpiplo de (x-1) entonces

p(x) = x^4+9x^2-10x+d = (x-1)q(x)

y cuando x=1 tendremos

P(1) = (1-1)q(x) = 0·q(x) = 0

Calculando el valor en el polinomio que nos dan es

P(1) = 1^3 + 9·1^2 -10 + d = 0

1+9-10 + d = 0

d=0

Luego el polinomio es

p(x) = x^4+9x^2-10x

Y ahora vamos con la simplificación

$$\begin{align}&\frac{x^4+9x^2-10x}{x^3-3x^2+2x}=\\&\\&\text{Simplificamos x}\\&\\&\frac{x^3+9x-10}{x^2-3x+2}=\\&\\&\text{el denominador se puede factorizar fácilmente}\\&\\&=\frac{x^3+9x-10}{(x-2)(x-1)}=\\&\\&\text{Sabíamos que P(x) era múltiplo de (x-1)}\end{align}$$

Lo factorizamos por Ruffini:

Luego lo que queda es:

$$\begin{align}&= \frac{(x-1)(x^2+x+10)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x^2+x+10}{x-2}\end{align}$$

Y ya no se puede simplificar más porque el denominador no se anula en x=2.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame, y si ya está bien, no olvides valorar.

Saludos.

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