Calcular área lateral de una pirámide conociendo su diagonal.

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Hola hfarias!

La respuesta es aproximada. En realidad da 6.30476...

Procedimiento:

Tendremos que hacer un Pitágoras en el triángulo rectángulo que forman la diagonal de la base (diagonal de un pentágono regular), la altura del prisma y la diagonal del prisma

(a· Sqrt(10)) dato del problema. (Sqrt es raiz cuadrada

Para calcular a (lado del pentágono) has de conocer un hecho geométrico que es que la diagonal de un pentágono regular y su lado están en proporción aúrea (que se representa con la letra griega phi)

Sea x la diagonal del pentágono (base):

$$\begin{align}&\frac{x}{a}=\phi=\frac{1+\sqrt 5}{2}=1.618\\&\\&x=a \frac{1+\sqrt 5}{2}\end{align}$$

Por otro lado el área lateral del  prisma , que es el área de cinco rectángulos es

540=5ah    (h altura del prisma=arista lateral)

===>

$$\begin{align}&ah=\frac{540}{5}=108\\&\\&h=\frac{108}{a}\end{align}$$

APlicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que forman la diagonal de la base (x), la arista lateral del prisma (h) y la diagonal del prisma (a sqrt(10)):

$$\begin{align}&\Bigg(a \sqrt{10} \Bigg)^2=\Bigg(\frac{108}{a}\Bigg)^2+\Bigg(\frac{1+ \sqrt 5 }{2} a\Bigg)^2\\&\\&\\&10a^2=\frac{11664}{a^2}+\frac{a^2}{4}(1+ \sqrt 5)^2\\&\\&10a^2=\frac{11664}{a^2}+\frac{a^2}{4}(1+ 2 \sqrt 5+5)\\&\\&10a^2=\frac{11664}{a^2}+\frac{a^2}{4}(6+ 2 \sqrt 5)\\&\\&Sacando \ denominadores \ (multiplicando  \ la  \ ecuación  \ por  \ 4a^2)\\&\\&40a^4=46656+a^4(6+2 \sqrt 5)\\&\\&40a^4-a^4(6+2 \sqrt 5)=46656\\&\\&a^4(40-6-2 \sqrt 5)=46656\\&\\&a^4(34-2 \sqrt 5)=46656\\&\\&a^4=\frac{46656}{34-2 \sqrt 5}\\&\\&a=\sqrt[4]{\frac{46656}{34-2 \sqrt 5}}=\simeq6.3\\&\\&\end{align}$$

Saludos

;)

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¡Hola Hfarias!

Cuando me hablan del número áureo yo me hecho a temblar, como yo no lo estudié pienso que la gente tampoco tiene porque conocer la propiedad del pentágono y el número áureo. Por eso te lo voy a resolver de otra forma.

Si colocamos un triángulo de los 5 de la base sobre la circunferencia de modo que a la derecha tengamos mitad de lado encima y mitad debajo del eje X, tendremos un águlo de 36º encima del eje X. Entonces la base del triángulo es a y la altura (que será el apotema) mide el radio multiplicado por coseno de 36º. Y la altura que será a/2 es el radio por el seno de 36º.

$$\begin{align}&r·sen36º = \frac a2\\&r·\cos 36º =apotema\\&\\&\text{dividiéndolas}\\&\\&tg36º=\frac a{2·apotema}\\&\\&apotema=\frac{a}{2tg36º}\\&\\&\text{Si ahora llamamos h a la altura del prisma}\\&\text{la superficie lateral es}\\&\\&S= 5ah+2·5·\frac{a·\frac{a}{2tg36º}}2=\\&\\&5ah+5a^2·\frac 1{4tg36º}=540\\&\\&h=\frac{108}a-\frac{a}{4tg36º}=\frac{432·tg36º-a^2}{4a·tg36º}\\&\\&\text{aplicando el teorema de Pitagoras}\\&\\&a^2+h^2 = \left(a \sqrt{10}\right)^2\\&\\&a^2+\left(\frac{432·tg36º-a^2}{4a·tg36º}  \right)^2=10a^2\\&\\&\left(\frac{432·tg36º-a^2}{4a·tg36º}  \right)^2=9a^2\\&\\&\frac{432·tg36º-a^2}{4a·tg36º}=3a\\&\\&432·tg36º-a^2=12a^2tg36º\\&\\&a^2(12·tg36º-1)=432·tg36º\\&\\&a= \sqrt{\frac{432·tg36º}{12·tg36º-1}}=6.376841885\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Esa respuesta es perféctamente válida.  En otras preguntas he contestado los valores del seno y coseno de 36º que servirían para dar un valor exacto de a en forma de raíces cuadradas, pero yo creo que ya vale con esto.

Saludos.

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