Volumen por medio de integrales triples

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¡Hola Anónimo!

Esta es la gráfica:

Nos interesa conocer la proyección de la intersección en el plano z=0

$$\begin{align}& \text{La intersección es}\\&\\&z=\sqrt{x^2+y^2}\\&\\&z=\frac y2 + 1\\&\\&\sqrt{x^2+y^2}=\frac y2 + 1\\&\\&x^2+y^2=\frac{y^2}4+y+1\\&\\&x^2+\frac 34y^2 - y =1\\&\\&x^2+\frac 34\left(y^2 - \frac {4y}3\right) =1\\&\\&x^2+\frac 34\left(\left( y-\frac 23 \right)^2-\frac 49  \right)=1\\&\\&x^2 + \frac 34\left(y - \frac 23  \right)^2 =1+\frac{12}{36}=\frac 43\\&\\&\frac 34 x^2+\frac{9}{16}\left(y - \frac 23  \right)^2=1\\&\\&\frac{x^2}{\left(\frac 2{\sqrt 3}  \right)^2} + \frac{\left(y - \frac 23  \right)^2}{\left( \frac 43 \right)^2}=1\\&\\&\text{racionalizamos el denominador}\\&\\&\frac{x^2}{\left(\frac {2 \sqrt 3 }{3}  \right)^2} + \frac{\left(y - \frac 23  \right)^2}{\left( \frac 43 \right)^2}=1\\&\\&\text{Esto es una elipse}\\&\\&Centro= \left(0, \frac 23\right)\\&\\&\text{Focos en el eje Y porque} \frac 43 \gt \frac{2 \sqrt 3}3\\&\\&\text{Límites en Y=}\left[\frac 23-\frac 43,\frac 23+\frac 43  \right]=\left[-\frac 23, 2  \right]\\&\\&\text{Límites en X=}\left[-\frac{2 \sqrt 3}{3}, \frac{2 \sqrt 3 }{3}  \right]\\&\end{align}$$

Esta es la gráfica del dominio de integración

Y la integral del volumen puede ser.

$$\begin{align}&\text{En un momento teníamos}\\&x^2+\frac 34y^2 - y =1\\&\\&\text{luego}\\&\\&x=\pm \sqrt{1+y-\frac 34y^2}\\&\\&\int_{-\frac 23}^2\int_{-\sqrt{1+y-\frac 34y^2}}^{+\sqrt{1+y-\frac 34y^2}}\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\frac y2+1}dz\;dx\;dy=\\&\\&\int_{-\frac 23}^2\int_{-\sqrt{1+y-\frac 34y^2}}^{+\sqrt{1+y-\frac 34y^2}}\left(\frac y2+1-\sqrt{x^2+y^2}  \right)dx\;dy=\\&\\&\int_{-\frac 23}^2\left[\frac {xy}2+x-  \text{¡LA DE DIOS!} \right]_{-\sqrt{1+y-\frac 34y^2}}^{+\sqrt{1+y-\frac 34y^2}}dy\end{align}$$

Vale, en cartesianas es imposible.

Para hacerlo en cilíndricas, primero hagamos un cambio que transforme esa elipse en círculo centrado.

Para no liarla mucho vayamos despacio, primero desplazamos el centro a (0,0) eso se consigue con el cambio

$$\begin{align}&t = y -\frac 23  \implies y = t + \frac 23\\&\\&dt = dy\\&\\&\\&\text{hacemos algún cálculo}\\&\\&1+y -\frac 34y^2= 1-\frac 34\left(y^2-\frac{4}{3}y \right)=\\&\\&1-\frac 34\left[ \left(y-\frac{2}{3}\right)^2-\frac 49\right]=\frac 43-\frac 34\left(y-\frac{2}{3}\right)^2=\\&\\&\frac 43\left[1-\frac{9}{16}\left(y-\frac{2}{3}\right)^2  \right]=\frac 43\left(1-\frac{9}{16}t^2\right)\\&\\&\\&x^2+y^2 = x^2+t^2+\frac 13 t + \frac 49\\&\\&\frac y2 + 1 =\frac t2+\frac 13+1=\frac t2+\frac 43\\&\\&\text{Con esto la integral queda}\\&\\&\int_{-\frac 43}^{\frac 43}\int_{-\sqrt{\frac 43\left(1-\frac{9}{16}t^2\right)}}^{+\sqrt{\frac 43\left(1-\frac{9}{16}t^2\right)}}\int_{\sqrt{x^2+t^2+\frac 13 t + \frac 49}}^{\frac{t}{2}+\frac 43}dz\;dx\;dt=\\&\\&\text{Y ahora hacemos los cambios}\\&\\&x =\frac{2 \sqrt 3}3 v\implies dx =\frac {2 \sqrt 3}{3}\\&\\&t= \frac 43 w\implies dt=\frac 43\\&\\&\frac {2 \sqrt 3}{3}·\frac 43\int_{-1}^1\int_{-\frac{3}{2 \sqrt 3}\sqrt{\frac 43\left(1-w^2\right)}}^{+\frac{3}{2 \sqrt 3}\sqrt{\frac 43\left(1-w^2\right)}}\int_{\sqrt{\frac 43 v^2+\frac{16}9 w^2+\frac 49 w + \frac 49}}^{\frac{2}{3}w+\frac 43}dz\;dv\;dw=\\&\\&\frac {4 \sqrt 3}{9}\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-w^2}}^{\sqrt{1-w^2}}\int_{\sqrt{\frac 43 v^2+\frac{16}9 w^2+\frac 49 w + \frac 49}}^{\frac{2}{3}w+\frac 43}dz\;dv\;dw=\\&\\&\text{Y ahora cambiamos a cilíndricas}\\&\\&v=\rho\;\cos\theta,\qquad w=\rho \,sen\,\theta,\qquad z=z\\&Jacobiano = \rho\\&\\&\frac {4 \sqrt 3}{9}\int_{0}^1\int_{0}^{2\pi}\int_{\sqrt{\frac 43 \rho^2 \,\cos^2\theta+\frac{16}9 \rho^2 \,sen^2\theta+\frac 49 \rho \,sen\,\theta + \frac 49}}^{\frac{2}{3}\rho \,sen\,\theta+\frac 43} \rho \;dz\;d\theta\;d\rho\\&\\&\text{Y lo voy a dejar, esto no hay quien lo integre.}\\&\\&\\&\end{align}$$

Es muy complicado.  A mi se me ocurre que se podría calcular integrando el area de las elipses que se obtienen como intersección entre los planos z=y  ,  z=y+2.

No sé cómo será de difícil, pero más que esto es imposible. Si quieres que haga eso mándalo en otra pregunta, en esta ya he pasado muchas horas.

Saludos.

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